Enunciado

No exemplo 12.10 (Seção 12.6) vimos que, no interior de um planeta com densidade constante (uma hipótese irreal para a Terra), a aceleração da gravidade cresce uniformemente com a distancia ao centro do planeta. Ou seja, g r = g s r / R , onde g s é a aceleração da gravidade na superfície, r é a distancia ao centro do planeta e R é o raio do planeta. O interior do planeta pode ser considade aproximadamente um fluido incompressível com densidade ρ . a) Substitua a altura y na Equação (14.4) pela coordenada radial r e integre para achar a pressão no interior de um planta com densidade constante em função de r. Considere a pressão na superfície igual a zero. (Isso significa desprezar a pressão da atmosfera do planeta.) b) Usando esse modelo, calcule a pressão no centro da Terra. (Use o valor da densidade mpedia a Terra, calculando-a mediante os valores da massa e doraio indicados no Apêndice F.) c) Os geólogos estimam um valor aproximadamente igual a 4 × q 0 11 P a para a expressão no centro da Terra. Esse valor condiz com o que você calculou para r=0? O que poderia contribuir para uma eventual diferença?

Passo 1

Siga o procedimento descrito na parte (a).

A terra possui massa M = 5,97 × 10 24   k g e raio R = 6,38 × 10 6   m .

Seja g s = 9,80 m / s 2

Passo 2

  1. A equação
  2. d p d y = - ρ g

    com o raio r em vez da altura y, torna-se

    d p = - ρ g r d r = - ρ g s r R d r  

    Este formulário mostra que a pressão diminui com o aumento do raio. Integrando, com

    p = 0 em r = R

    p = - ρ g s R ∫ R r r d r = ρ g s R ∫ r R r d r = ρ g s 2 R ( r 2 - r 2 )

    Passo 3

  3. Usando a expressão acima com
  4. r = 0

    E

    ρ = M V = 3 M 4 π R 3

    p 0 = 3 5,97 × 10 24   k g ( 9,80 m / s 2 ) 8 π 6,38 × 10 6 m 2 = 1,71 × 10 11 P a

    Passo 4

  5. Enquanto a mesma ordem de magnitude, isso não está de acordo com o valor estimado. Em mais modelos de densidade realistas (consulte o Problema 14.55), a concentração de massa em raios mais baixos leva a uma pressão mais alta.

Nesse modelo, a pressão no centro da terra é cerca de 106 vezes a pressão na superfície.

Resposta

  1. ρ g s 2 R ( r 2 - r 2 )
  2. 1,71 × 10 11 P a
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