Enunciado

Astronautas no espaço não conseguem se pesar ficando em pé sobre uma balança comum de banheiro. Em vez disso, eles determinam sua massa oscilando presos a uma grande mola. Suponha que uma astronauta prenda a extremidade de uma grande mola a seu cinto e a outra extremidade a um gancho fixado no interior da nave espacial. Outro astronauta a puxa na direção oposta ao gancho e a solta. O comprimento da mola em função do tempo é mostrado na FIGURA P14.36.

a. Qual é a massa da astronauta se a constante elástica for de 240   N / m ?

b. Qual é a sua velocidade quando o comprimento da mola for de 1,2   m ?

Passo 1

Bom, vamos começar dando uma olhada no gráfico para respondermos a letra (a). Dá para perceber que o ponto de equilíbrio da mola NÃO está no zero do gráfico, o que significa que a gente precisa encontrar esse ponto.

Para isso, basta a gente somar o maior e o menor valor de comprimento que a mola pode chegar e depois dividir por dois:

1,4   m + 0,6   m 2 = 1,0   m

O ponto de equilíbrio está em 1,0   m e a mola oscila em torno desse ponto.

Passo 2

Com isso, podemos determinar qual é a amplitude do movimento, basta pegarmos o máximo (ou o mínimo) e subtrair o valor da posição do ponto de equilíbrio:

1,4   m - 1,0   m = 0,4   m

Esse é o maior valor de deslocamento em relação ao equilíbrio que a mola pode chegar, que é a amplitude

A = 0,4   m

Passo 3

Outra informação que podemos tirar do gráfico é o período, de t = 0   s até t = 3   s , a mola foi de 1,4   m , passou por todos os valores possíveis e chegou em 1,4   m de novo, isso significa que o período é de:

T = 3   s

Com ele e a amplitude, podemos calcular a velocidade máxima do astronauta:

v m a x   = ω A = 2 π T A

Substituindo:

v m a x   = 2 π 3   s 0,4   m = 0,84   m / s

Passo 4

E usando a equação de conservação de energia, podemos encontrar a massa do astronauta:

E = 1 2 k A 2 = 1 2 m v m a x 2

A energia mecânica total é toda convertida em energia cinética quando o astronauta está no ponto de equilíbrio.

Agora basta isolarmos m :

m = k A 2 v m a x 2

Substituindo os valores:

m = ( 240   N / m ) ( 0,4   m ) 2 ( 0,84   m / s )

m = 45,7   k g

Passo 5

Para a letra (b), basta usarmos a equação de energia novamente, mas nesse caso, como a mola está numa posição em que ela não está completamente esticada ou na posição de equilíbrio, a energia mecânica total é dada pela soma da energia cinética com a energia potencial elástica:

E = 1 2 k A 2 = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2

Simplificando:

m v 2 = k A 2 - k x 2

Como x é a variação de comprimento da mola em relação ao equilíbrio que está em x = 1,0   m :

x = 1,2   m - 1,0   m = 0,2   m

Nossa equação fica:

m v 2 = k A 2 - k ( 0,2   m ) 2

Agora a gente isola v :

v = k A 2 - k ( 0,2   m ) 2 m

E substitui todos os valores que a gente calculou ou o enunciado deu:

v = ( 240   N / m ) ( 0 , 4   m ) 2 - ( 240   N / m ) ( 0 , 2   m ) 2 45,7   k g

v = 0,79   m / s

Resposta

a   m = 45,7   k g

b v = 0,79   m / s

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