Enunciado

O movimento de uma partícula é dado por x t = ( 25 c m )   c o s ( 10 t ) , onde t está em s . Em que instante a energia cinética é duas vezes maior do que a energia potencial?

Passo 1

Bom, como a questão fala sobre energia potencial e movimento harmônico simples, podemos supor que a partícula está oscilando por causa de alguma mola ou coisa do tipo. Pela equação de energia mecânica total, a gente vai ter:

E = 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2

Ou seja, para uma dada tensão na mola, ela vai se deslocar x unidades em relação ao equilíbrio e isso produz uma energia potencial, como o sistema está em oscilação, também teremos uma velocidade v associada.

Passo 2

Agora como o enunciado fala que a energia cinética precisa ser o dobro da potencial, a relação vai ser a seguinte:

1 2 m v 2 = 2 1 2 k x 2

Podemos então substituir na equação do Passo 1:

E = 2 1 2 k x 2 + 1 2 k x 2

E como a energia mecânica total pode ser escrita em termos da amplitude das oscilações da mola:

E = 1 2 k A 2

A gente substitui de novo:

1 2 k A 2 = 2 1 2 k x 2 + 1 2 k x 2

Simplificando:

k A 2 = 2 k x 2 + k x 2

k A 2 = 3 k x 2

A 2 = 3 x 2

E depois tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

A = x 3

Isolando x :

x = A 3

A amplitude está na própria equação de movimento harmônico dada no enunciado, ela está multiplicando a função cosseno:

A = 25   c m

E x vai ser:

x = 25   c m 3 = 14,43   c m

Passo 3

Agora a gente sabe a posição para a qual a energia cinética é o dobro da potencial, basta substituirmos esse valor na equação de movimento harmônico:

  x t = 25 c m c o s 10 t = 14,43   c m

E encontrar t :

cos ⁡ 10 t = 14,43   c m 25   c m = 0,58

t = arccos ⁡ 0,58 10

t = 0,1   s

Esse vai ser o instante.

Resposta

t = 0,1   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

33. Uma bola de 1,50k g e outra de 2,0k g são coladas uma na outra, a mais leve embaixo da mais pesada. A bola de cima é presa mola vertical de constante 165N / m e o sistema está vibrando verticalmen
Um temor de terra coloca em vibração no sentido vertical, com frequência angular ω = 20 s - 1 e amplitude de 4c m , uma plataforma horizontal, sobre a qual está colocado um bloquinho de madeira. A pla
A energia total de um sistema conservativo na vizinhança de um equilíbrio estável é da forma E = a q ˙ 2 + ω 2 q 2 , onde q (deslocamento, ângulo, … ) é o desvio do equilíbrio e a e ω são constantes.
Um tubo cilíndrico cuja secção transversal tem área A está dobrado em forma de V , com um ramo vertical e o outro formando um ângulo φ com a vertical, e contém uma massa M de líquido de densidade ρ .
Um oscilador harmônico começa a oscilar em t = 0 . Após 1 / 4 de período, sua energia cinética é 3 vezes maior que a energia potencial. Qual é a fase inicial? (Dê todos os valores possíveis).