Enunciado

Um átomo de hélio uma vez ionizado, H e + , tem um espectro análogo ao do hidrogênio, as seu núcleo tem o dobro da carga do de hidrogênio.

  1. Desenvolva a teoria de Bohr para o H e + , calculando os níveis de energia E n em função das constantes físicas e , m , c , h , ϵ 0 .
  2. Calcule a energia de ionização do H e + .

Passo 1

Vamos lá! Primeiro temos que lembrar que o H e + é um átomo de hélio que perdeu um elétron. Sendo assim, ele tem apenas um elétron orbitando em torno do núcleo.

Entre o elétron e o núcleo tem força elétrica

F e = k q n q e R 2

Outra coisa importante é que no átomo de Bohr o elétron descreve uma trajetória circular. Sendo assim, existe uma resultante centrípeta.

F C = m v 2 R

Passo 2

Como no H e + temos 2 prótons no núcleo e apenas um elétron

q n = 2 e     ;

q e = - e     .

Igualando a força elétrica com a resultante centrípeta, temos

m v 2 R = k q n q e R 2

m v 2 = k q n q e R     .     ( 1 )

Passo 3

Podemos escrever a energia como

K = 1 2 m v 2

Substituindo a equação (1), temos

K = k q n q e 2 R     ( 2 ) .

Passo 4

Para estabelecer a relação entre o nível n , podemos usar que o momento angular é dado por

L = n h 2 π = n ℏ

O momento angular também pode ser escrito como

L = R m v

v = n ℏ m R

Podemos substituir a expressão da velocidade na equação (1)

m n ℏ m R 2 = k q n q e R

R = n 2 ℏ 2 m k q n q e     3   .

Passo 5

Substituindo a equação (3) em (2), temos

E n = k q n q e 2 n 2 ℏ 2 m k q n q e

Sabendo que

k = 1 4 π ϵ 0

Podemos substituir os valores das cargas e de k .

E n = 1 2 1 4 π ϵ 0 2 - 4 e 4 m n 2 ℏ 2

Reorganizando, temos

E n =   - 2 m     e 4 4 π 2 n 2   ϵ 0 2 ℏ 2

Pronto! Conseguimos fazer a demonstração!

Passo 6

Como já encontramos a expressão para E n , só precisamos, para achar a energia de ionização, calcular E 1 . Substituindo

n = 1

ℏ = 6,582 × 10 - 16   e V   s

m = 9,1 × 10 - 31   k g

e = 1,6 × 10 - 19   C

k = 1 4 π ϵ 0 = 9 × 10 9   N   m 2 / C 2

Temos

E 1 = - 54   e V

Resposta

a )     E n =   - 2 m     e 4 4 π 2 n 2   ϵ 0 2 ℏ 2

b )     E 1 = - 54   e V

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