Enunciado

Para um átomo de hidrogênio, a prbobabilidade P ( r ) de encontrar o elétron no interior de uma camada esférica de raio interno r e raio externo r + d r é dado pela equação (41.7). Para m átomo de hidrogênio no estado fundamental 1 s , em que o valor de r a probabilidade P r   atinge seu valor máximo? Como seu resultado se compara com a distância entre o elétron e o núcleo no estado n = 1 no modelo de Bohr indicado pela equação 41.8?

Passo 1

A função de onda para o caso do elétron na camada 1 s é:

ψ 1 s r = 1 π a 3 e - r a

E a densidade de probabilidade pode ser interpretada como:

P r d V = ψ 1 s r 2 4 π r 2 d r

Para o caso de uma esfera de raio interno r e raio externo r + d r .

Substituindo a função de onda:

P r d V = 1 π a 3 e - 2 r a 4 π r 2 d r

P r d V = 4 a 3 e - 2 r a r 2 d r

Vamos chamar o termo constante de:

C = 4 a 3

Passo 2

Se derivarmos o conteúdo da expressão do lado direito, sem considerar a parte diferencial:

C e - 2 r a r 2

E derivarmos em relação a r e igualarmos tudo a zero, para obtermos o ponto de máximo da função que o enunciado pede:

d C e - 2 r a r 2 d x = C e - 2 r a 2 r - 2 r 2 a = 0

Isolamos r para encontrarmos o valor em que isso acontece:

2 r - 2 r 2 a = 0

r a - r 2 = 0

r = a

A outra raiz, r = 0 , corresponde ao ponto de mínimo da função.

Isso é exatamente a distância do elétron em relação ao núcleo no modelo de Bohr para a camada n = 1 . (Usamos a diretamente na equação da função de onda porque já sabemos que o valor coincide com o valor do raio de Bohr, calculado em seu modelo).

Resposta

r = a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o átomo de hidrogênio, à medida que n aumenta, o espaçamento dos níveis de energia adjacentes em um diagrama de nível de energia aumenta ou diminui?