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O balanço de um relógio antigo oscila com uma amplitude angular de π   rad e um período de 0,500 s . Determine (a) a velocidade angular máxima do balanço, (b) a velocidade angular no instante em que o deslocamento é π / 2 r a d e (c) o módulo da aceleração angular no instante em que o deslocamento é π / 4 r a d .

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, como o movimento é harmônico, a gente pode escrever o deslocamento angular do balanço do relógio em termos da função cosseno. Fica assim:

θ t = θ m c o s ⁡ 2 π t / T

Onde θ m é a amplitude e T é o período do movimento. Pra gente achar a velocidade em função do tempo, basta derivar esta equação em função do tempo.

d θ t d t = Ω t

Logo:

Ω t = - 2 π θ m T sen ⁡ 2 π t T

Onde o símbolo Ω , no movimento de rotação, é usado para representar a velocidade angular, afim de não confundir com a frequência angular ω .

Como o movimento é oscilatório, a gente perceber que o seu valor oscila com uma amplitude de 2 π θ m T . Logo, a velocidade máxima atingida ocorre exatamente no valor da amplitude, tal que:

Ω M A X = 2 π π   rad 0,500   s

Ω M A X = 39,5 rad / s

Passo 2

Belezoca, agora pra gente achar o valor da velocidade quando θ = π / 2 , a gente precisa antes achar o valor do tempo em que o pêndulo passa por esse ponto. Temos, então

θ t = θ m cos ⁡ 2 π t T

θ t θ m = cos ⁡ 2 π t T

arccos ⁡ θ t θ m = 2 π t T

Isolando t :

t = T 2 π arccos ⁡ θ t θ m

Logo:

t = 0,500   s 2 π arccos ⁡ π / 2 π

t = 0,08333   s

Agora é só substituir o valor do tempo na equação da velocidade, de forma que:

Ω t = - 2 π θ m T sen ⁡ 2 π t T

Ω t = - 2 π . π 0,500 s sen ⁡ 2 π × 0,08333 s 0,500 s

Ω t = - 34,2 rad / s

Onde o módulo é:

Ω t = 34,2 rad / s

Passo 3

Pra achar a aceleração angular, a gente tem que derivar a equação da velocidade com relação ao tempo, ou ainda derivar duas vezes a equação da posição, tal que:

α t = d 2 θ t d t 2

α t = - 2 π T 2 θ m cos ⁡ 2 π t T

Se a gente analisar bem a equação acima, gente percebe que dá pra escrever a equação da aceleração em termos da posição. Fazendo isso, ficamos assim:

α t = - 2 π T 2 θ t

Quando θ = π / 4 , temos:

α = - 2 π 0,500 s 2 π 4

α = - 124 rad / s 2

α = 124 rad / s 2

Resposta

(a) Ω m = 39,5 rad / s

(b) Ω t = - 34,2 rad / s

(c) α = 124 rad / s 2

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