Enunciado

Uma barra fina uniforme (massa = 0,50 kg) oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5 s e uma amplitude angular de 10º. (a) Qual é o comprimento da barra? Qual é a energia cinética máxima da barra?

Passo 1

Falaa galerinhaa boa, tudo jóinha? Se a gente fizer um desenho da situação em que a barra se encontra, a gente ia ter algo mais ou menos assim:

Antes, de tudo, a gente precisa calcular o momento de inércia da barra em torno do seu centro de rotação. Sabendo seu momento de inércia no centro de massa, a gente consegue descobrir o momento de inércia com relação a extremidade usando o teorema dos eixos paralelos. Chamando de x a distância entre o centro de rotação e o centro de massa, o teorema dos eixos paralelos fica assim:

I = I c m + m g x 2

Como x = L / 2 , obtemos que:

I = m L 2 12 + m L 2 2

I = m L 2 3

Pronto, agora podemos jogar na equação do período T :

T = 2 π I M g d  

Substituindo I que foi encontrado e também d =   L / 2 , vemos que o período é dado como:

T = 2 π 1 3 M L 2 M g L 2

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

T 2 = 8 3 π 2 L g

Isolando L :

L = 3 g T 2 8 π 2

Portanto, substituindo os valores que o enunciado nos fornece, descobrimos que:

L = 3 × 9,8 × 1,5 2 8 π 2

L = 0,84   m

Passo 2

Pelo princípio da conservação de energia mecânica, a gente sabe que a máxima energia potencial é igual a máxima energia cinética. Assim, como a gente tem o valor da amplitude do movimento, que é 10 ° , a gente consegue calcular o valor da máxima energia potencial

K m á x = U m á x

K m á x = M g L 2 1 - cos ⁡ θ

E substituindo os valores:

K m á x = 0,5 × 9,81 × 0,84 2 × ( 1 - cos ⁡ 10 °

K m á x = 0,031   J

Resposta

(a) L = 0,84   m

(b) K m á x = 0,031   J

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