Enunciado

O centro de oscilação de um pêndulo físico possui a seguinte propriedade interessante: Se um impulso (horizontal e no plano de oscilação) é aplicado ao centro de oscilação, nenhuma oscilação é sentida no ponto de apoio Os jogadores de beisenol (e os jogadores de muitos outros esportes) sabem que, a menos que a bola se choque com o bastão nesse ponto (chamado de “ponto doce” pelos atletas), as oscilações produzidas pelo impacto serão transmitidas às mãos. Para demonstrar essa propriedade, use a régua da figura como modelo de um bastão de beisebol. Suponha que uma força horizontal F → (devido ao impacto da bola) age para a direita em P , o centro de oscilação. O batedor segura o bastão em O , o ponto de sustentação da régua. (a) Que aceleração a força F → imprime ao ponto O ? (b) Que aceleração angular é produzida por F → em relação ao centro de massa da régua? (c) Como resultado da aceleração angular calculada no item (b), qual é a aceleração linear do ponto O ? (d) Considerando os módulos e orientações das acelerações calculadas nos itens (a) e (c), convença-se de que o ponto P é, de fato, um “ponto doce”.

Passo 1

(a) Como a força age sobre o centro de osciçação em P , podemos supôr que não existe nenhuma força horizontal agindo no ponto O .

Nesse caso, a única força horizontal agindo sobre a barra (e consequentemente sobre o ponto O ) é F , e pela segunda lei de Newton:

∑ F = F = m a

a = F m

Passo 2

(b) Agora queremos calcular a acelerção angular gerada pela força F . Vamos precisar da seguinte equação:

τ = I α

Onde τ é o torque da força F , I é o momento de inércia e α é a aceleração angular.

O enunciado pediu para calcularmos essa aceleração em relação ao centro de massa da régua, então:

I = 1 12 m L 2

E para calcular o torque, precisamos da distângia entre C (o centro de massa) e O (o ponto de aplicação da força):

τ = F d

Nós sabemos que a distância entre o ponto de suspensão e o centro de oscilação (os pontos O e P ), no caso de uma régua, é:

d O P = 2 3 L

E a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa ( d O C ) é:

d O C = 1 2 L

Então a distância entre P e C (veja o desenho) é:

d P C = d O P - d O C = 2 3 - 1 2 L = 1 6 L

Agora é só substituir na fórmula de cima:

τ = I α

F 1 6 L = 1 12 m L 2 α

α = 2 F m L

Passo 3

(c) Vimos que a barra gira em torno do centro de massa com aceleração angular α . Como ponto O está a uma distância L / 2 do centro de massa, a sua aceleração devido a essa rotação é:

a 1 = L 2 α = L 2 2 F m L = F m

Como a força F empurra a barra para a direita, ela gira no sentido anti-horário. Olhando para o desenho, podemos ver que isso fará com que o ponto O tenha uma acelerção inicial para a esquerda.

Mas essa não é a única aceleração agindo sobre o ponto O . No item (a), calculamos uma aceleração F / m na mesma direção da força F , ou seja, para a direita. Então:

a = a 1 + a 2 = F m - F m = 0

Passo 4

(d) Pelos nossos resultados, a escolha do ponto P para a aplicação da força realmente é útil.

Ela faz com que as duas acelerações a 1 e a 2 se cancelem naturalmente, garantindo que o ponto em que o batedor segura o taco (ou nesse caso, o ponto de suspensão da régua) permaneça estacionário.

Resposta

(a) a = F / m .

(b) α = 2 F / m L .

(c) a O = 0 .

(d) A escolha do ponto P realmente garante que o ponto de suspensão permaneça estacionário.

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