Enunciado

Um bloco de 3,0   K g está viajando para a direita (sentido + x ) a 5,0   m / s , e um segundo bloco de 5,0   K g está viajando para a direita a   3,0   m / s .

( a ) Determine a energia cinética total dos dois blocos.

( b ) Determine a velocidade do centro de massa do sistema de dois blocos.

( c ) Determine a velocidade de cada bloco em relação ao centro de massa.

( d ) Determine a energia cinética dos blocos em relação ao centro de massa.

( e ) Mostre que a resposta para a parte ( a ) é maior do que a resposta da parte ( d ) por uma quantidade igual à energia cinética associada ao movimento do centro de massa.

Passo 1

Primeiro, vamos definir como o sentido positivo do eixo x para a direita. Usaremos a expressão de momento linear total do sistema para achar a velocidade do centro de massa e a definição de velocidade relativa para expressar a soma das energias cinéticas relativas ao centro de massa.

Passo 2

( a ) A energia cinética total do sistema K   é a soma das energias cinéticas de cada bloco:

K =   K 1 +   K 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Substituindo as variáveis pelos correspondentes valores numéricos:

K = 1 2 3,0   K g 5,0 m / s 2 + 1 2 ( 5,0   k g ) ( 3,0 m / s ) 2 = 60,0   J

Passo 3

( b ) Relacionando a velocidade do centro de massa do sistema com seu momento linear total:

M v → c m =   m 1 v → 1 +   m 2 v → 2

Isolando v → c m :

v → c m =   m 1 v → 1 +   m 2 v → 2 M

e substituindo os valores numéricos na equação acima:

v → c m =   3,0   k g 5,0 m / s i ^ + ( 5,0   k g ) ( 3,0 m / s ) i ^ 3,0   k g + 5,0   k g = 3,75 m / s i ^

Passo 4

( c ) Sabemos que a velocidade de um bloco relativo ao centro de massa é dada pela relação abaixo:

v → r e l =   v → - v → c m

Vamos então substituir os valores numéricos para cada bloco, de modo que possamos obter a velocidade de cada um deles:

v → 1 , r e l = 5,0 m / s i ^ - 3,75   m / s i ^ = ( 1,25   m / s ) i ^

v → 1 , r e l = ( 1,3 m / s )

v → 2 , r e l = 3,0 m / s i ^ - 3,75 m / s i ^ = ( - 0,75 m / s ) i ^

v → 1 , r e l = ( - 0,8 m / s )

Passo 5

( d ) Obtidas as velocidades na letra (c), vamos então calcular a energia cinética do nosso sistema como a soma das energias cinéticas relativas ao centro de massa dos dois blocos:

K r e l =   K 1 , r e l +   K 2 , r e l =   1 2 m 1 v 1 , r e l 2 +   1 2 m 2 v 2 , r e l 2

Substituindo os valore numéricos e calculando K r e l :

K r e l =   1 2 ( 3,0   k g ) ( 1,25 m / s ) 2 +   1 2 ( 5,0   k g ) ( - 0,75 m / s ) 2 =   3,75   J

K r e l ≈ 4   J

Passo 6

( e ) A energia cinética do centro de massa ( K c m ) é dada por:

K c m =   1 2 m t o t a l v c m 2

Substituindo os valores numéricos e calculando K c m :

K c m =   1 2 8,0   k g 3,75 m / s 2 ≈ 56,3   J

56,3   J = K -   K r e l ≅ 60 - 3,75

Resposta

( a ) K = 60,0   J  

( b ) v → c m = 3,75 m / s i ^  

( c ) 1,3   m / s para a direita e 0,8   m / s para a esquerda

( d ) K r e l =   3,75   J  

( e ) K c m =   56,3   J   . É igual a diferença entre a energias das letra ( a ) e ( d ) .

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