Enunciado

(a) Um bloco está deslizando para baixo em um plano inclinado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é μ k . Mostre que o gráfico de a x / cos ⁡ θ em função de tan ⁡ θ (onde a x é a aceleração ao longo da descida e θ é o ângulo de inclinação do plano em relação à horizontal) seria uma linha reta com inclinação g e intercepto - μ k g . (b) Os dados a seguir mostram a aceleração de um bloco deslizando por um plano inclinado como uma função do ângulo de inclinação θ do plano com a horizontal.

Usando um programa de planilhas, faça um gráfico desses dados e ajuste uma linha reta a eles para determinar μ k e g . Qual é a diferença percentual entre o valor obtido para g e o valor usual de 9,81   m / s 2 ?

Passo 1

Quando um bloco desce por um plano inclinado, o diagrama de forças é da seguinte forma:

E aplicando a segunda lei de Newton na direção x (paralela ao plano):

∑ F x = m g sen ⁡ θ - F a t = m a x

m g sen ⁡ θ - μ N = m a x

m g sen ⁡ θ - μ m g cos ⁡ θ = m a x

E agora, isolando a aceleração a x :

a x = g sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ

Passo 2

(a) Agora vamos escrever uma função que relacione (explicitamente) a x / cos ⁡ θ e tan ⁡ θ .

a x = g sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ

Dividindo tudo por cos ⁡ θ :

a x cos ⁡ θ = g tan ⁡ θ - g μ

Que é exatamente a função de uma reta em que Y = a x / cos ⁡ θ e X = tan ⁡ θ :

Y = g X - g μ

Então g é a inclinação e – g μ é o intercepto.

Passo 3

(b) Agora vamos usar um programa de planilhas para fazer um gráfico dos dados mostrados na tabela.

Para cada ponto no gráfico, a coordenada vertical vai ser dada por y = a x cos ⁡ θ e x = tan ⁡ θ :

E podemos usar o próprio programa de planilhas para calcular a inclinação da reta que melhor se ajusta a esses pontos:

y = 9,7 8 x - 2,62

E então:

9,78   m / s 2 = g

2,62 = g μ         ⇒           μ = 2,62 9,78 = 0,268

Passo 4

Agora vamos calcular a diferença percentual entre o valor calculado para g e o valor usual:

9,81 - 9,78 9,81   100   % = 0,306 %

Resposta

(a) Demonstração.

(b) g = 9,78   m / s 2 e μ = 0,268 .

(c) 0,306   % .

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