Responde Aí

Enunciado

Considere o bloco da figura abaixo. Mostre que, em geral, os seguintes resultados valem para um bloco de massa m que está sobre uma superfície horizontal de coeficiente de atrito estático μ e . (a) Se você deseja aplicar a menor força possível para mover o bloco, você deve aplicá-la puxando para cima a um ângulo θ = tan - 1 ⁡ μ e . (b) A força mínima necessária para começar a mover o bloco é F m í n = μ e / 1 + μ e 2 m g . (c) Uma vez iniciado o movimento do bloco, se você deseja aplicar a menor força possível para mantê-lo em movimento, você deve manter o ângulo com o qual você está puxando, deve aumentá-lo ou deve diminuí-lo?

Passo 1

Letra (a)

Precisamos fazer 3 coisas: 2º lei de Newton em x, 2º lei de Newton em y e fazer F a t = μ e F n (porque a força é a menor possível). Então vamos lá:

∑ F y = F s e n θ + F n - m g = 0

F n = m g - F s e n θ             ( 1 )

Passo 2

Agora em x:

∑ F x = F c o s θ - μ e F n = 0             ( 2 )

Agora gente joga a (1) na (2):

F c o s θ - μ e m g - F s e n θ = 0

F c o s θ - μ e m g + μ e F s e n θ = 0

F c o s θ + μ e s e n θ = μ e m g

F = μ e m g c o s θ + μ e s e n θ             ( 3 )

Passo 3

A gente quer a menor força possível, certo? Então a gente precisa do maior denominador. Vamos olhar para a função:

f θ = c o s θ + μ e s e n θ

Se a gente quer maximizar a função, vamos derivar e igualar a zero:

f ' θ = - s e n θ + μ e c o s θ = 0

s e n θ = μ e c o s θ ⇒ s e n θ c o s θ = μ e

t g θ = μ e

θ = a r c t g ( μ e )

Passo 4

Letra (b)

Vamos aplicar o resultado da letra (a) lá na equação (3). Mas primeiro vamos ver quanto vale o seno e o cosseno de θ :

Da figura, a gente vê que:

s e n θ = μ e 1 + μ e 2

e

c o s θ = 1 1 + μ e 2

Passo 5

Agora sim, jogando na (3):

F = μ e m g 1 1 + μ e 2 + μ e ∙ μ e 1 + μ e 2 = μ e m g 1 + μ e 2 1 + μ e 2

F = μ e m g 1 + μ e 2

Aí a gente chegou no resultado:

F = μ e 1 + μ e 2 ∙ m g

Passo 6

Letra (c)

A gente sabe que quando o atrito passa do estático para o cinético o coeficiente de atrito diminui. Só que olha só: se a gente repetir o mesmo cálculo da letra (a), a gente acha que o ângulo para a menor força é θ = a r c t g ( μ c ) . Só que a r c t g μ c < a r c t g ( μ e ) , então a gente deve diminuir o ângulo.

Resposta

Letra (a): ver solução.

Letra (b): ver solução.

Letra (c): diminuir

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