Enunciado

A bolinha de um pêndulo de comprimento L é puxada lateralmente até que o fio forme um ângulo θ 0   com a vertical e então seja liberada. No exemplo 7-5, a conservação da energia foi usada para obter a rapidez da bolinha na parte mais baixa de sua trajetória. Neste problema, você deve obter o mesmo resultado usando a segunda lei de Newton. (a) Mostre que a componente tangencial da segunda lei de Newton se escreve como d v d t = - g s e n   θ , onde v é a rapidez e θ é o ângulo entre o fio e a vertical. (b) Mostre que v pode ser escrito como v = L d θ / d t . (c) Use este resultado e a regra da cadeia de derivação para obter d v d t = d v d θ v L . Combine os resultados das Partes (a) e (c) para obter v d v = - g L   s e n   θ   d θ . (e) Integre o lado esquerdo da equação da Parte (d), de v = 0 até a rapidez final v , e o lado direito de θ = θ 0 até θ = 0 , para mostrar que o resultado é equivalente a v = 2 g h , onde h é a altura original da bolinha acima do ponto mais baixo de sua trajetória.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A situação exposta no enunciado está descrita na figura abaixo:

O enunciado nos diz o passo a passo que deve ser seguido, então vamos lá. Para o item (a):

Aplicando a segunda lei de Newton:

∑ F t a n = - m g s i n   θ = m a t a n

a t a n = d v d t = - g sin ⁡ θ

Passo 2

Item (b):

Relacionando o arco s com o comprimento do pêndulo L e o ângulo θ , temos:

s = L θ

Derivando com relação ao tempo, temos:

d s d t = v = L d θ d t

Passo 3

Item (c):

Multiplicando d v d t por d θ d θ e substituindo por d θ d t do Passo 2, temos:

d v d t ⋅ d θ d θ = d v d θ ⋅ d θ d t

Do passo 2, sabemos que d θ d t = v L , logo:

d v d t = d v d θ ⋅ v L

Passo 4

Item (d):

Do Passo 1, sabemos que d v d t = - g sin ⁡ θ , logo:

- g sin ⁡ θ = d v d θ ⋅ v L

Reorganizando, temos:

- g L sin ⁡ θ d θ = v d v

Passo 5

Item (e):

Agora temos que integrar nos limites disponibilizados:

∫ 0 v v d v = ∫ θ 0 0 - g L sin ⁡ θ d θ

1 2 v 2 = g L ( 1 - cos ⁡ θ 0 )

Pela figura, podemos notar que h = L 1 - cos ⁡ θ 0 , logo:

1 2 v 2 = g h

v = 2 g h  

Resposta

a ) a t a n = - g sin ⁡ θ

b ) v = L d θ d t

c ) d v d t = d v d θ ⋅ v L

d ) - g L sin ⁡ θ d θ = v d v

e ) v = 2 g h  

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