Enunciado

Um caçador mira um esquilo que está sobre um galho de árvore. No instante do disparo, o esquilo se solta do galho. Mostre que o esquilo não deveria ter se soltado, se pretendia continuar vivo.

Passo 1

Esse exercício é bem divertido. Imagine a seguinte situação: um atirador que não sabe física mira num esquilo. Como o atirador não sabe física, ele mira em linha reta no esquilo. Todavia, você deve saber que se o atirador fizer isso, ele vai errar o alvo, como mostrado na figura a seguir:

Vamos calcular a altura h que o projétil vai atingir. Para isso, lembramos que a equação da trajetória parabólica é

y = x tan ⁡ θ - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ x 2

Quando x = D , temos y = h , de modo que

h = D tan ⁡ θ - g D 2 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ

Guarde essa informação!

Passo 2

Se o esquilo ficar paradinho no galho, o tiro não vai atingi-lo e ele vai sair vivo para contar a história para outro esquilinho. Agora, se no momento do tiro o esquilo se assustar e perder o equilíbrio, ele pode estar em apuros!

Vamos calcular a distância d que o esquilo cai enquanto o projétil se movimenta. Para isso, lembramos que o tempo de voo do projétil é

t v o o = D v x

Como v x = v 0 cos ⁡ θ , temos que

t v o o = D v 0 cos ⁡ θ

Para calcular a distância d , usamos a fórmula de queda livre:

d = g t 2 2

Substituindo o tempo de voo:

d = g 2 ⋅ D v 0 cos ⁡ θ 2 = g D 2 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ

Aqui vem o pulo do gato! Observe que usando trigonometria em triângulos retângulo, podemos escrever

tan ⁡ θ = H D → H = D tan ⁡ θ

Assim,

h = D tan ⁡ θ - g D 2 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ = H - d

Olhando na figura, vemos que a posição que o esquilo vai se localizar na queda coincide exatamente com a posição do projétil. Olha que coisa maluca: mesmo sem saber física e errando a mira, se o esquilo se assustar e cair no momento do tiro, ele será atingido!

Resposta

Demonstração.

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