Enunciado

Uma caixa de 50   k g , em repouso sobre um chão plano, deve ser deslocada. O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o chão é 0,60 . Uma maneira de deslocar a caixa é empurrá-la com uma força que forma um ângulo θ abaixo da horizontal. Outro método é empurrá-la com uma força formando um ângulo θ acima da horizontal. (a) Explique por que um método requer menos força que o outro. (b) Calcule a mínima força necessária para deslocar a caixa de cada maneira, se θ = 30 ° , e compare os resultados com os resultados para θ = 0 ° .

Passo 1

Os diagramas para os dois métodos são mostrados abaixo. O método 1 resulta em uma caixa sendo empurrada para o chão, aumentando a força normal e a força de atrito estático. Método 2 parcialmente levanta a caixa, reduzindo a força normal e a força de atrito estático. Podemos aplicar a segunda lei de Newton para obter expressões que relacionam o máximo força de atrito estático ao aplicado força   F → .

Passo 2

Item (a)

Bem, o melhor método para empurrar a caixa é o método que minimiza a força de atrito. Como a força de atrito é diretamente proporcional a força normal, então o método que tem a menor força normal tem, consequentemente, a menor força de atrito e, portanto, é o método que requer menos esforço. Nesse caso, vemos que o método 2 tem a força normal menor que o método 1, pois a força F do método 2 tem uma componente para cima, e como as forças em y tem que se anular (considerando que o bloco não sobe e nem desce), temos F n + F s e n θ = F g , e no método 1, temos F g + F s e n θ = F n . Então, o método que se faz menos esforço para empurrar o bloco é o método 2.

Passo 3

Item (b)

Usando a 2° Lei de Newton no eixo x, temos:

∑ F x = F c o s θ - f s = F c o s θ - μ s F n = m a x

Para o método 1:

∑ F y = F n - m g - F s e n θ = 0 ⇒ F n = m g + F s e n θ

Como f s = μ s F n , temos:

f s = μ s ( m g + F s e n θ )

Para o método 2:

∑ F y = F n - m g + F s e n θ = 0 ⇒ F n = m g - F s e n θ

Como f s = μ s F n , temos:

f s = μ s ( m g - F s e n θ )

A condição que temos para que o bloco se mova para frente é que a força de atrito máxima f s = F c o s θ , o que faz sentido, pois se o somatório das forças em x for igual a zero, o bloco ou está em repouso ou em movimento uniforme. Então, usando essa condição, chamaremos a força do método 1 de F 1 e do método 2 de F 2 :

f s = F 1 c o s θ = μ s m g + F 1 s e n θ ⇒ F 1 = μ s m g c o s θ - μ s s e n θ

f s = F 2 c o s θ = μ s m g - F 2 s e n θ ⇒ F 2 = μ s m g c o s θ + μ s s e n θ

Passo 4

Substituindo valores numéricos para F 1 e F 2 e θ = 30 ° :

F 1 30 ° = 0,60 50   k g 9,81 m s 2 c o s 30 ° - 0,60 s e n 30 ° = 0,52   k N

F 2 30 ° = 0,60 50   k g 9,81 m s 2 c o s 30 ° + 0,60 s e n 30 ° = 0,25   k N

Fazendo o mesmo só que com θ = 0 ° :

F 1 0 ° = 0,60 50   k g 9,81 m s 2 c o s 0 ° - 0,60 s e n 0 ° = 0,29   k N

F 2 0 ° = 0,60 50   k g 9,81 m s 2 c o s 0 ° + 0,60 s e n 0 ° = 0,29   k N

Resposta

  1. o método que se faz menos esforço para empurrar o bloco é o método 2.
  2. F 1 30 ° = 0,52   k N , F 2 30 ° = 0,25   k N , F 1 0 ° = 0,29   k N , F 2 0 ° = 0,29   k N
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