Enunciado

Uma caixa contém N moléculas. Considere duas configurações: a configuração A , com uma divisão igual de moléculas entre os dois lados da caixa, e a configuração B , com 60,0 % das moléculas no lado esquerdo e 40,0 % no lado direito. Para N = 50 , qual é (a) a multiplicidade W A da configuração A , (b) a multiplicidade W B da configuração B e (c) a razão f B / A entre o tempo que o sistema passa na configuração B e o tempo que o sistema passa na configuração A ? Para N = 100 , quais são (d) W A , (e) W B e (f) f B / A ? Para N = 200 , quais são (g) W A , (h) W B e (i) f B / A ? (j) Com o aumento de N , f aumenta, diminui ou permanece constante?

Passo 1

(a) Bom, só pra ficar claro: queremos a multiplicidade de uma configuração em que temos um total de 50   moléculas em uma caixa, com metade em cada um dos lados.

Lembrando que, pra cada configuração do sistema, a multiplicidade é o número de microestados possíveis, o número de formas diferentes de arrumar moléculas iguais.

Esse caso de N moléculas distribuídas em dois lados de uma caixa é bem comum, a fórmula da multiplicidade nesse caso é:

W = N ! N 1 ! N 2 !

Ou seja:

W = 50 ! 25 ! 25 ! = 1,264   .   10 14

W ≅ 1,26   .   10 14

Passo 2

E a mesma fórmula funciona no caso da letra (b). Mas agora os valores de N 1 e N 2 são diferentes:

W = N ! N 1 ! N 2 !

Como 60 % de 50 é 30 e 40 % de 50 é 20 , a fórmula fica assim:

W = 50 ! 30 ! 20 ! = 4,712.10 13

W ≅ 4,71   .   10 13

Passo 3

(c) Agora queremos a razão entre o tempo que o sistema passa em cada uma dessas configurações que acabamos de calcular.

Bom, pense assim, cada estado é igualmente provável certo?

Se existissem duas vezes mais estados que se enquadram na configuração A , concorda que o sistema passaria duas vezes mais tempo nessa configuração?

Então por essa mesma lógica:

f = W B W A = 4,71   .   10 13 1,26   .   10 14 = 0,373809

f ≅ 0,374

Passo 4

(d) Agora vamos calcular exatamente as mesmas coisas dos últimos três itens, mas com N = 100 .

W A = 100 ! 50 ! 50 ! = 1,01   .   10 29

Passo 5

(e) E no outro caso, as porcentagens são ainda mais fáceis:

W B = 100 ! 60 ! 40 ! = 1,37   .   10 28

Passo 6

(f) E aquela mesma razão que calculamos na letra (c) vai ser:

f = W B W A = 1,37.10 28 1,01.10 29 = 0,1356

f ≅ 0,136

Passo 7

(g) Agora vamos calcular exatamente essas três coisas mais uma vez, mas com N = 200 .

W A = 200 ! 100 ! 100 ! = 9,05.10 58

Essa nem a calculadora aguentou fazer. Só de curiosidade, olha qual é o resultado dessa razão aí com todos os algarismos:

W A = 90548514656103281165404177077484163874504589675413336841320

Mas só isso aqui já é suficiente:

W A = 9,05   .   10 58

Passo 8

(h) E no outro caso:

W B = 200 ! 120 ! 80 ! = 1,64   .   10 57

Passo 9

(i) E aquela mesma razão que calculamos na letra (c) vai ser:

f = W B W A = 1,64   .   10 57 9,05   .   10 58 = 0,01812

f ≅ 0,0181

Passo 10

Agora queremos observar como esse f se comporta quando N aumenta. Vamos ver os resultados:

N = 50 → f = 0,374

N = 100 → f = 0,136

N = 200 → f = 0,0181

Ou seja, quando N aumenta, f diminui.

Resposta

(a) W A = 1,26   .   10 14

(b) W B = 4,71   .   10 13

(c) f = 0,374

(d) W A = 1,01   .   10 29

(e) W B = 1,37   .   10 28

(f) f = 0,136

(g) W A = 9,05   .   10 58

(h) W B = 1,64   .   10 57

(i) f = 0,0181

(j) f diminui quando N aumenta.

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