Enunciado

Uma caixa cúbica de dimensões L x = L y = L z = L contém um elétron (cuja massa é m ). Determine, em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , onde m é a massa do elétron; (a) a energia do estado fundamental do elétron; (b) a energia do segundo estado excitado; (c) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estados excitados. Determine também quantos estados degenerados possuem a energia (d) do primeiro estado excitado; (e) do quinto estado excitado.

Passo 1

Vamos usar a equação para os níveis de energia do elétron confinado na caixa:

E n x , n y , n z = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2

A questão pede para separarmos em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , vamos multiplicar e dividir o lado direito por L 2 :

E n x , n y , n z = h 2 8 m L 2 L 2 n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2

E passar a primeira parte do lado direito para a esquerda, para que a resposta fique em múltiplos:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = L 2 n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2

Como o enunciado diz que as dimensões da caixa são L x = L y = L z = L , então:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = L 2 n x 2 L 2 + n y 2 L 2 + n z 2 L 2 = n x 2 + n y 2 + n z 2

Passo 2

(a) Para o estado fundamental, substituímos os valores dos níveis da equação do Passo 1, e ficamos com:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3,00

Passo 3

(b) A terceira menor energia do sistema (o segundo estado excitado) será:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = 2 2 + 2 2 + 1 2 = 9,00

Passo 4

(c) O terceiro estado excitado vai ser:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = 1 2 + 1 2 + 3 2 = 11,00

E a diferença entre ele o segundo estado excitado:

11,00 - 9,00 = 2,00

Passo 5

(d) O primeiro estado excitado é:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6,00

Os outros valores dos níveis de energia que correspondem a essa energia são:

n x , n y , n z = 2,1 , 1   e   ( 1,2 , 1 )

No total, são 3 estados degenerados.

Passo 6

(e) O quinto estado excitado é:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14,00

E os valores dos outros níveis de energia serão:

n x , n y , n z = 2,1 , 3 ,   1,3 , 2 , 2,3 , 1 , 3,1 , 2   e   ( 3,2 , 1 )

Ou seja, 6 estados degenerados.

Nos casos do Passo 5 e do Passo 6, como as dimensões da caixa são iguais, isso significa que basta alternarmos os valores de n x , n y e n z , até esgotar as possibilidades, dessa forma que obtemos o número de estados degenerados.

Resposta

a   3,00

b   9,00

c   2,00

d   3   e s t a d o s

e     6   e s t a d o s

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