Enunciado

Uma molécula de nitrogênio está confinada numa caixa cúbica de volume 1,00   m 3 . Admitindo que a energia da molécula seja 3 2   k T , a T   =   300   K , qual o valor de n = n x 2 + n y 2 + n z 2 1 2 para essa partícula nesse estado? Qual a separação entre as energias dos níveis n e n + 1 ? Qual o comprimento de onda de Broglie? Seria apropriado descrever a partícula como comportando-se classicamente?

Passo 1

Falaaaaaaaaaaaaaaaa Tribuxo?

Bora resolver mais uma questão!?

Vamos começar escrevendo a equação que iremos usar:

E = n 2 h 2 8 m e L 2

Tá, mas o que são todas essas letras????

E nãooooooooooooo, dessa vez o n não é número de mols, é outra coisa, aquele n que a gente vê em química geral quando está aprendendo distribuição eletrônica, orbitais.............. é o nível ou camada energética do elétron. O h é a nossa constate de Planck, o m e é a massa do elétron, e o L é o nosso comprimento.

Mas o exercício nos contou que:

E = 3 2   k T

E que:

n = n x 2 + n y 2 + n z 2 1 2

Então:

E = 3 2   k T = n x 2 + n y 2 + n z 2 2 h 2 8 m L 2 = n 2 h 2 8 m e L 2

Esse passo foi só para vermos as fórmulas bonitinhas, mas nos próximos é onde a mágica acontece.......

Passo 2

Precisamos achar o valor de n , mas em para isso a gente irá precisar ter os outros valores da fórmula de sempre, tá eu sei que o m e a gente consegue achar, L também, o h   é constante, mas e o E . Pegou o que eu estou tentando dizer????

É a gente não vai usar a de sempre, vamos usar a que o exercício nos deu primeiro (o k é uma constante):

E = 3 2   .   300   .   1,381 × 10 - 23

E = 6,2145 × 10 - 21   J

Passo 3

Agora sim, vamos usar:

E = n 2 h 2 8 m L 2

Nosso L , se L 3 = 1   m 3 então podemos dizer que L 2 = 1   m 2 . Então beleza, agora a gente substitui lá, e o m será 9,109 × 10 - 31 , está tudo certo, não é????

A gente só usa m = 9,109 × 10 - 31 , quando estamos trabalhando com elétron, mas agora estamos trabalhando com uma molécula de N 2 , e na massa molar dessa molécula existem 6,022 × 10 23   e l é t r o n s . Mas se a gente fizer:

0,028   k g 6,022 × 10 23 = 4,650 × 10 - 26   k g

Agora está liberado substituir direto:

6,2145 × 10 - 21 = n 2   .   6,626 × 10 - 34 2 8   .   4,650 × 10 - 26   .   1 2

n = 7,138 × 10 10

Passo 4

Agora vamos calcular a separação entre as energias dos níveis n e n + 1 :

E n + 1 - E n = n + 1 2 h 2 8 m L 2 - n 2 h 2 8 m e L 2

Mas essa fórmula ainda é muito complicada, vamos usar a análoga dela:

E n + 1 - E n = 2 n + 1 h 2 3 m L 2

Agora sim, é só substituir:

E n + 1 - E n = 2   .   7,138 × 10 10 + 1 6,626 × 10 - 34 2 8   .   4,650 × 10 - 26   .   1 2

E n + 1 - E n = 1,685 × 10 - 31   J

Passo 5

Agora vamos determinar o comprimento de onda de Broglie:

λ = h m v

Vamos precisar achar a velocidade, por:

E k = 1 2 m v 2 = 3 2 k T

E olha só, nós temos o E k e m , então podemos achar v :

E k = 1 2 m v 2

6,2145 × 10 - 21 = 1 2   .   4,650 × 10 - 26   .   v 2

v = 517,001   m   .   s - 1

Agora voltando para determinar o comprimento de onda:

λ = 6 , 626 × 10 - 34   4,650 × 10 - 26   .   517,001

λ = 2,756 × 10 - 11   m = 27,5   p m

Após todos esses cálculos podemos dizer que a molécula se comporta de maneira clássica. Temos que a energia da molécula é essencialmente continua:

Δ E E ≪ 1

Curtiu?????????

Borá matar mais uma questão!

Resposta

n = 7,138 × 10 10

E n + 1 - E n = 1,685 × 10 - 31   J

λ = 2,756 × 10 - 11   m = 27,5   p m

A molécula se comporta de maneira clássica

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