Enunciado

Calcule o d i v ( c × r ) , onde c é um vetor constante.

Passo 1

Bom, temos que calcular d i v ( c → × r → ) , onde c → é constante. Podemos dizer, então:

c → = c x i ^ + c y j ^ + c z k ^

E

r → = r x i ^ + r y j ^ + r z k ^

Vamos por partes, começando pelo cálculo do produto vetorial:

c → × r → = i ^ j ^ k ^ c x c y c z r x r y r z

Para calcular esse determinante, a gente faz o seguinte, por exemplo: queremos saber a componente i ^ , ignoramos a linha e a coluna de i ^ e fazemos o determinante do que sobrou:

Para i ^ , após excluir a linha e a coluna, sobra c y c z r y r z e o determinante será: c y r z - c z r y . E esse será o valor associado ao i ^ .

Fazemos o mesmo procedimento para j ^ e k ^ , a diferença é que para o j ^ vamos multiplicar o resultado por - 1 no final, apenas! Dessa forma:

c → × r → = c y r z - c z r y i ^ + c z r x - c x r z j ^ + c x r y - c y r x k ^

Passo 2

Agora, vamos fazer o divergente desse vetor, lembrando que o divergente de um vetor qualquer D → :

d i v D → = ∂ D x ∂ x + ∂ D y ∂ y + ∂ D z ∂ z

Com isso, como queremos d i v c → × r → , onde:

c → × r → = c y r z - c z r y i ^ + c z r x - c x r z j ^ + c x r y - c y r x k ^

Vamos ter que:

d i v c → × r → = ∂ c y r z - c z r y ∂ x + ∂ c z r x - c x r z ∂ y + ∂ c x r y - c y r x ∂ z

Calma, veremos que eles seguem um padrão!

Passo 3

No primeiro termo:

∂ c y r z - c z r y ∂ x = ∂ c y r z ∂ x - ∂ c z r y ∂ x

Pela regra do produto:

∂ c y r z ∂ x = ∂ c y ∂ x ∙ r z + ∂ r z ∂ x ∙ c y

Mas, como c → é um vetor constante, suas derivadas serão nulas. Dessa forma:

∂ c y r z ∂ x = ∂ r z ∂ x ∙ c y

Então, vemos que apenas as derivadas com as componentes de r → que vão aparecer! Dessa forma:

∂ c z r y ∂ x = ∂ r y ∂ x ∙ c z

E:

∂ c y r z - c z r y ∂ x = ∂ r z ∂ x ∙ c y - ∂ r y ∂ x ∙ c z

Nesse segundo termo, vamos usar as mesmas ideias:

∂ c z r x - c x r z ∂ y = ∂ c z r x ∂ y - ∂ c x r z ∂ y

E pelo mesmo raciocínio anterior:

∂ c z r x - c x r z ∂ y = ∂ r x ∂ y ∙ c z - ∂ r z ∂ y ∙ c x

O terceiro termo segue o padrão:

∂ c x r y - c y r x ∂ z = ∂ r y ∂ z ∙ c x - ∂ r x ∂ z ∙ c y

Passo 4

Vamos substituir todas as derivadas que encontramos:

d i v c → × r → = ∂ r z ∂ x ∙ c y - ∂ r y ∂ x ∙ c z + ∂ r x ∂ x ∙ c z - ∂ r z ∂ x ∙ c x + ∂ r y ∂ x ∙ c x - ∂ r x ∂ x ∙ c y

Vamos colocar os c x , c y e c z em evidência:

d i v c → × r → = c x ∂ r y ∂ z - ∂ r z ∂ y + c y ∂ r z ∂ x - ∂ r x ∂ z + c z ∂ r x ∂ y - ∂ r y ∂ x

Então, seria o vetor c → multiplicado escalarmente com alguma coisa:

d i v c → × r → = c →   ∙ ∂ r y ∂ z - ∂ r z ∂ y i ^ + ∂ r z ∂ x - ∂ r x ∂ z j ^ + ∂ r x ∂ y - ∂ r y ∂ x k ^

Algo desse tipo...

Opa, isso tá com uma cara de rotacional... Vamos conferir o rotacional de r → :

r o t   r → = ∂ r z ∂ y - ∂ r y ∂ z i ^ + ∂ r x ∂ z - ∂ r z ∂ x j ^ + ∂ r y ∂ x - ∂ r x ∂ y k ^

Repare que um é o oposto do outro! Então, o que temos dentro do parênteses no divergente é - r o t   r → . Dessa forma:

d i v c → × r → = - c →   ∙ r o t   r →

Ufa! Prontinho.

Resposta

d i v c → × r → = - c →   ∙ r o t   r →

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