Enunciado

Calcule a integral.

∫ 2 3 1 x 2 - 1 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, vai ser preciso fatorar o denominador:

1 x 2 - 1 = 1 x + 1 x - 1

Agora é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

1 x + 1 x - 1 = A x + 1 + B x - 1

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + 1 x - 1 :

1 = A x - 1 + B x + 1

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x - 1 + B x + 1 = A x - A + B x + B = t A + B + - A + B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 → A = - B - A + B = 1

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

- A + B = 1 → - - B + B = 1 → B = 1 2

Assim achamos A :

A = - 1 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 x + 1 x - 1 d x = ∫ - 1 2 x + 1 + 1 2 x - 1 d x = ∫ - 1 2 x + 1 d x + ∫ 1 2 x - 1 d x

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 1 2 x + 1 d x = ∫ - 1 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 1 2 u d u = - 1 2 ∫ 1 u d u = - 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 2 x - 1 d t = ∫ 1 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Juntando temos:

∫ - 1 2 x + 1 d x + ∫ 1 2 x - 1 d x = - 1 2 ln ⁡ u + 1 2 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ - 1 2 x + 1 d x + ∫ 1 2 x - 1 d x = - 1 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 2 3 1 x 2 - 1 d x = - 1 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 2 3 = - 1 2 ln ⁡ 3 + 1 + 1 2 ln ⁡ 3 - 1 - - 1 2 ln ⁡ 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ 2 - 1 = - 1 2 ln ⁡ 4 + 1 2 ln ⁡ 2 - - 1 2 ln ⁡ 3 + 1 2 ln ⁡ 1 = - 1 2 ln ⁡ 4 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 3

Resposta

∫ 2 3 1 x 2 - 1 d x = - 1 2 ln ⁡ 4 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 3

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