Enunciado

11. Calcule o valor numérico de a na Equação ( 41.8 ) para a ) um átomo de hidrogênio, supondo que a massa do núcleo seja infinita, de modo que m t = m ; b ) um positrônio (Seção 38.5 ), em que m t = m / 2 , exatamente; c ) um muônio, um átomo constituído por um múon e um próton (veja Problema 38.59 ), em que m t = 185,8 m . Para o item ( a ) , a se transforma em a 0 , o raio de Bohr.

Passo 1

Primeiro vamos escrever a equação 41 . 8 , ela é dada por:

a = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m t e 2

Onde ϵ 0 = 8,854 ⋅ 10 - 12   C 2 / N ⋅ m 2 , e = 1,602 ⋅ 10 - 19   C e ℏ = 1,054 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s .

É esse o termo que temos que calcular para cada item o que vai mudar é massa.

Lembrando que m é massa do elétron dada por 9,11 ⋅ 10 - 31   k g .

Passo 2

Vamos começar com o caso do item ( a ) , nesse caso temos:

m t = m = 9,11 ⋅ 10 - 31   k g

Vamos calcular o valor de a , temos:

a = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m t e 2

Substituindo os valores que sabemos, temos:

a = 4 π 8,854 ⋅ 10 - 12 1,054 ⋅ 10 - 34 2 ( 9,11 ⋅ 10 - 31 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 2

= 123 , 6 ⋅ 10 - 80 23,38 ⋅ 10 - 69

Então temos que:

a = 5,29 ⋅ 10 - 11   m

Passo 3

Vamos para o caso do item ( b ) , nesse caso temos:

m t = m 2 = 9,11 ⋅ 10 - 31 2 k g = 4,55 ⋅ 10 - 31   k g

Vamos calcular o valor de a , temos:

a = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m t e 2

Substituindo os valores que sabemos, temos:

a = 4 π 8,854 ⋅ 10 - 12 1,054 ⋅ 10 - 34 2 ( 4,55 ⋅ 10 - 31 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 2

= 123,6 ⋅ 10 - 80 11,68 ⋅ 10 - 69

Então temos que:

a = 10,58 ⋅ 10 - 11   m

Passo 4

Vamos para o caso do item ( c ) , nesse caso temos:

m t = 185,8 m = 185,8 ( 9,11 ⋅ 10 - 31 k g ) = 1,69 ⋅ 10 - 28   k g

Vamos calcular o valor de a , temos:

a = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m t e 2

Substituindo os valores que sabemos, temos:

a = 4 π 8,854 ⋅ 10 - 12 1,054 ⋅ 10 - 34 2 ( 1,69 ⋅ 10 - 28 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 2

= 123,6 ⋅ 10 - 80 4,34 ⋅ 10 - 66

Então temos que:

a = 28,48 ⋅ 10 - 1 4   m

Resposta

( a )

a = 5,29 ⋅ 10 - 11   m

( b )

a = 10,58 ⋅ 10 - 11   m

( c )

a = 28,48 ⋅ 10 - 14   m

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