Enunciado

10. Para o átomo de hidrogênio comum, a massa reduzida do sistema elétron e próton é m t = 0,99946 m , onde m é a massa do elétron (Seção 38.5 ). Em cada um dos casos seguintes determine o coeficiente numérico de - 1 / n 2 na Equação ( 41.3 ) e o nível de energia do fóton emitido na transição do nível n = 2 até o nível n = 1 . a ) Um átomo de hidrogênio, supondo que a massa do núcleo seja infinita, de modo que m t = m . b ) Um positrônio (Seção 38.5 ), em que m t = m / 2 , exatamente. c ) Um muônio, um átomo constituído por um múon e um próton (veja o Problema 38.59 ), em que m t = 185,8 m .

Passo 1

Primeiro vamos escrever a equação 41.3 , ela é dada por:

E n = - 1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 n 2 ℏ 2

Quando o enunciado pede o coeficiente numérico de - 1 / n 2 , ele está se referindo ao termo

1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 ℏ 2

Onde ϵ 0 = 8,854 ⋅ 10 - 12   C 2 / N ⋅ m 2 , e = 1,602 ⋅ 10 - 19   C e ℏ = 1,054 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s .

É esse o termo que temos que calcular para cada item.

Nós vamos encontrar esse termo em J , mas teremos que passar para e V , lembrando que:

1   J = 6,242 ⋅ 10 18   e V

A energia do fóton emitido que o enunciado também pede é igual a diferença entre a energia do estado que ele estava para o estado que ele foi, no nosso caso vai ser:

Δ E = E 2 - E 1

A energia do fóton então vai ser dada por essa diferença.

Passo 2

Vamos começar com o caso do item ( a ) , nesse caso temos:

m t = m = 9,11 ⋅ 10 - 31   k g

Vamos calcular o coeficiente numérico, temos:

1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 ℏ 2

Substituindo os valores que sabemos, temos:

1 4 π 8,854 ⋅ 10 - 12 2 ( 9,11 ⋅ 10 - 31 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 4 2 ( 1,054 ⋅ 10 - 34 ) 2

= 6 0 ⋅ 10 - 107 2,75 ⋅ 10 - 88

= 2,18 ⋅ 10 - 18   J

Passando para elétron-volt, temos:

13,6     e V

Então temos que:

E n = - 13,6   e V n 2

E a energia do fóton é dada por:

Δ E = - 13,6 4 - - 13,6 1 = 10,2   e V

Passo 3

Vamos para o caso do item ( b ) , nesse caso temos:

m t = m 2 = 9,11 ⋅ 10 - 31 2 k g = 4,55 ⋅ 10 - 31   k g

Vamos calcular o coeficiente numérico, temos:

1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 ℏ 2

Substituindo os valores que sabemos, temos:

1 4 π 8,854 ⋅ 10 - 12 2 ( 4,55 ⋅ 10 - 31 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 4 2 ( 1,054 ⋅ 10 - 34 ) 2

= 29,97 ⋅ 10 - 107 2,75 ⋅ 10 - 88

= 10,898 ⋅ 10 - 1 9   J

Passando para elétron-volt, temos:

6,8   e V

Então temos que:

E n = - 6,8   e V n 2

E a energia do fóton é dada por:

Δ E = - 6,8 4 - - 6 , 8 1 = 5,1   e V

Passo 4

Vamos para o caso do item ( c ) , nesse caso temos:

m t = 185,8 m = 185,8 ( 9,11 ⋅ 10 - 31 k g ) = 1,69 ⋅ 10 - 28   k g

Vamos calcular o coeficiente numérico, temos:

1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 ℏ 2

Substituindo os valores que sabemos, temos:

1 4 π 8,854 ⋅ 10 - 12 2 ( 1,69 ⋅ 10 - 28 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 4 2 ( 1,054 ⋅ 10 - 34 ) 2

= 11,13 ⋅ 10 - 10 4 2,75 ⋅ 10 - 88

= 4,047 ⋅ 10 - 1 6   J

Passando para elétron-volt, temos:

2526   e V

Então temos que:

E n = - 2526   e V n 2

E a energia do fóton é dada por:

Δ E = - 2526 4 - - 2526 1 = 1894,5   e V

Resposta

( a )

1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 ℏ 2 = 13,6   e V

E f = Δ E = 10,2   e V

( b )

1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 ℏ 2 = 6 , 8   e V

E f = Δ E = 5,1   e V

( c )

1 4 π ϵ 0 2 m t e 4 2 ℏ 2 = 2526   e V

E f = Δ E = 1894,5   e V

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