Enunciado

Calcule os valores esperados da energia cinética T e da energia potencial V nos estado fundamental do átomo de hidrogênio, e verifique que satisfazem ao teorema do virial: V = - 2 T .

Passo 1

Na seção 10.5, encontramos a função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio:

φ r = 1 π a 0 3 e - r a 0

Com isso, a densidade de probabilidade é dada por

φ r 2 = 1 π a 0 3 e - 2 r a 0

Para achar o valor esperado de qualquer função de f = f ( r ) , temos que integar sobre todo o espaço:

f r = ∫ f r   φ r 2   d V

Usando coordenadas esféricas, temos que

f r = ∫ 4 π r 2   f r   φ r 2   d r

O potencial é dado por

V = - q 2 r

Assim,

V = - q 2   1 r

Passo 2

No nosso problema, f r = 1 / r :

1 r = ∫ 4 π r 2 ⋅ 1 r ⋅   φ r 2   d r

Logo,

1 r = ∫ 4 π r ⋅ 1 π a 0 3 e - 2 r a 0   d r = 4 a 0 3 ∫ 0 ∞ r   e - 2 r / a 0   d r

Vamos usar a integral tabelada:

∫ 0 ∞ x n e - x / a   d x = n ! a n + 1

Nesse caso, temos n = 1 e a = a 0 / 2 :

∫ 0 ∞ r 1   e - 2 r / a 0   d r = 1 ! a 0 2 2 = a 0 2 4

Logo,

1 r = 4 a 0 3 ⋅ a 0 2 4 = 1 a 0

Portanto,

V = - q 2 ⋅ 1 a 0 ⇒ V = - q 2 a 0

Passo 3

E para a energia cinética? Sabemos que o operador energia cinética é dado por

T ^ = - ℏ 2 2 m Δ

Lembre-se que aqui, Δ é o operador laplaciano, que em muitos livros é representado por ∇ 2 . Com isso,

T = ∫ 0 ∞ 4 π r 2   φ r *   T ^ φ r   d r

Mas sabemos que

T ^ φ r = - ℏ 2 2 m   Δ φ

Mas como mostrado na equação 10.112:

Δ φ = d 2 φ d r 2 + 2 r d φ d r

Sabemos que

φ r = 1 π a 0 3 e - r a 0

Assim,

d φ d r = - 1 π a 0 3 e - r a 0 a 0

Da mesma forma,

d 2 φ d r 2 = 1 π a 0 3 e - r a 0 a 0 2

Portanto,

T ^ φ r = - ℏ 2 2 m 1 π a 0 3 e - r a 0 a 0 2 - 2 r   1 π a 0 3 e - r a 0 a 0

Ou ainda,

T ^ φ r = - ℏ 2 2 m a 0 ⋅ 1 π a 0 3 1 a 0 e - r a 0 - 2 r e - r a 0

Passo 4

Com isso,

T = ∫ 0 ∞ 4 π r 2   1 π a 0 3 e - r a 0   - ℏ 2 2 m a 0 ⋅ 1 π a 0 3 1 a 0 e - r a 0 - 2 r e - r a 0   d r

Logo,

T = - 2 ℏ 2 m a 0 4 ∫ 0 ∞ r 2 1 a 0 - 2 r e - 2 r / a 0   d r

Antes de fazermos a integral, temos que

ℏ 2 m = q 2 a 0

Logo,

T = 2 q 2 a 0 3 ∫ 0 ∞ r 2 2 r - 1 a 0 e - 2 r / a 0   d r

Agora podemos olhar para a integral:

∫ 0 ∞ r 2 2 r - 1 a 0 e - 2 r / a 0   d r = 2 ∫ 0 ∞ r   e - 2 r / a 0   d r - 1 a 0 ∫ 0 ∞ r 2   e - 2 r / a 0   d r

Vamos usar novamente a fórmula

∫ 0 ∞ x n e - x / a   d x = n ! a n + 1

Com a = a 0 / 2 e n = 1 :

∫ 0 ∞ r   e - 2 r / a 0   d r = 1 ! a 0 2 2 = a 0 2 4

Com n = 2 :

∫ 0 ∞ r 2   e - 2 r / a 0   d r = 2 ! a 0 2 3 = a 0 3 4

Assim,

∫ 0 ∞ r 2 2 r - 1 a 0 e - 2 r / a 0   d r = 2 ⋅ a 0 2 4 - 1 a 0 ⋅ a 0 3 4 = a 0 2 4

Com isso,

T = 2 q 2 a 0 3 ∫ 0 ∞ r 2 2 r - 1 a 0 e - 2 r / a 0   d r = 2 q 2 a 0 3 ⋅ a 0 2 4

Portanto,

T = q 2 2 a 0

Note que

V = - 2 T

Resposta

V = - q 2 a 0

T = q 2 2 a 0

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