Enunciado

Um campo magnético é aplicado a uma esfera uniforme de ferro de raio R   =   2.00   m m , que flutua livremente no espaço. O momento magnético da esfera inicialmente é nulo. mas o campo alinha 12 % dos momentos magnéticos dos átomos (ou seja, 12% dos momentos magnéticos dos elétrons fracamente ligados da esfera, que correspondem a um elétron por átomo de ferro). A soma do momento magnético desses elétrons alinhados constitui o momento magnético intrínseco da esfera, μ s . Qual é a velocidade angular w

induzida na esfera pelo campo?

Passo 1

Os dados que o problema nos dá são:

R = 2 × 10 - 3 m

a l i n h a m e n t o   d e   12 %

w ?

E mais algumas informações que tiramos de tabelas:

N a = 6,02 × 10 23 n r o   d e   a v o g a d r o

M = 0,0558 k g / m o l ( m a s s a   m o l a r   d o   f e r r o )

Passo 2

O momento angular da esfera vai ser igual ao momento angular dos átomos que estão alinhados, certo? Então precisamos determinar quantos átomos estão alinhados. O número de átomos N é dado, em termos da massa molar e do número de Avogadro:

N = N a m M

Onde m é a massa de ferro da esfera. Com isso, sabendo a expressão para o momento angular quantizado L = m s ℏ e lembrando que apenas 12 % dos átomos estão alinhados, temos:

L = 0,12 m s ℏ × N = 0,12 m s ℏ N a m M

Passo 3

Certo! Agora vamos pensar no momento angular de uma esfera. Lembrando lááá da mecânica, temos que o momento angular de uma esfera é:

L = I w

Viu! Daqui é que vamos tirar a velocidade angular w . Agora vamos lembrar mais um pouco da mecânica: o momento de inércia de uma esfera é 2 5 m R 2 , e daí temos uma expressão para L :

L = 2 5 m R 2 w

Passo 4

E o que fazemos agora? Igualamos as expressões para os momentos angulares dos passos 2 e 3!

2 5 m R 2 w = 0,12 m s ℏ N a m M

Podemos cortar m dos dois lados e isolar w do lado esquerdo:

w = 5 2 . 0,12 m s ℏ N a m M R 2

Vamos lembrar que m s = 1 / 2 pois temos elétrons, que ℏ = 6,63 × 10 - 34 / 2 π e as outras constantes e quantidades estão descritas no passo 1, agora é só substituir:

w = 5 4 0,12 . 6,02 × 10 23 ( 6,63 × 10 - 34 ) 0,0558 2 × 10 - 3 2 2 π = 4,3 × 10 - 5 r a d / s

Resposta

4,3 × 10 - 5 r a d / s

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