Enunciado

Um cano de 1,0 cm de diâmetro se alarga para 2,0 cm e, depois, se estreita para 5,0 mm. Um líquido flui pelo primeiro segmento a uma velocidade de 4,0 m/s.

a. Qual é a velocidade no segundo e no terceiro segmento?

b. Qual é a vazão de volume no cano?

Passo 1

Bom! Temos aí uma questão sobre vazão!

Por isso, vamos fazer um esboço do nosso problema, já que a água está fluindo em um sistema onde a seção transversal muda...

Opaaa! Acho que já temos aí uma dica de como vamos ter que resolver essa questão! Pelo visto, vamos ter que usar a famosa equação da continuidade!

Essa equação relaciona a velocidade de escoamento de um fluido e a área disponível para tal escoamento. A partir da imagem abaixo, perceba que o caminho feito pelo fluido possui duas áreas diferentes: A 1 >   A 2 . Imagine, portanto, que, em um intervalo de tempo ( Δ t ), um volume ( Δ V ) do fluido entre pela área A 1 . Adotando o fluido como incompressível, devemos assumir que o mesmo volume ( Δ V ) deverá sair pela extremidade da área A 2 ...

Passo 2

a) Baseado nisso, sabendo que...

r 1 = 0,5   c m = 0,005   m

r 2 = 1,0   c m = 0,01   m

r 3 = 2,5   m m = 0,0025   m

v 1 = 4,0   m / s

Usando o Teorema da Continuidade...

A 1 v 1 = A 2 v 2 = A 3 v 3

Podemos obter a velocidade no segundo segmento...

A 1 v 1 = A 2 v 2

v 2 = A 1 v 1 A 2

v 2 = π ( 0 , 00 5 ) 2 ⋅ 4 π ( 0,01 ) 2

v 2 = 1,0   m / s

E no terceiro segmento...

A 1 v 1 = A 3 v 3

v 3 = A 1 v 1 A 3

v 3 = π ( 0 , 00 5 ) 2 ⋅ 4 π ( 0,0025 ) 2

v 3 = 16 , 0   m / s

Passo 3

b) Por fim, falta determinar a vazão de volume no cano!

Essa é de boas!

Bom! Pela equação da continuidade, a vazão não muda... Portanto, se pegar Q = v 1 A 1 , Q = v 2 A 2 ou Q = v 3 A 3 ... O resultado vai ser o mesmo!

Dessa forma, calculando Q :

Q = v 1 A 1 = π ( 0 , 00 5 ) 2 ⋅ 4

Q = 3,1416 ⋅ 10 - 4     m 3 / s

Resposta

a)

v 2 = 1,0   m / s

v 3 = 16,0   m / s

b)

Q = 3,1416 ⋅ 10 - 4     m 3 / s

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