Enunciado

Um capacitor de placas paralelas tem placas circulares de raio a separadas por uma distancia d.No espacamento entre as duas placas estd um fino fio retilineo de resistencia R que conecta os centros das duas placas.Uma tensio dependente do tempo dada por Vosen ot e aplicada nas placas.(a)Qual e a corrente consumida no capacitor?(b)Qualeo campo magnetico como funcao da distancia radialr ate a linha central no interior das placas do capacitor?(c) Qual co angulo de fase entre a corrente consumida no capacitor e a tensio aplicada?

Passo 1

Parte da carga que entra no capacitor passa através do fio resistivo enquanto o resto se acumula na placa superior. A corrente total é a taxa na qual a carga passa pelo fio resistivo mais a taxa na qual ela se acumula na placa superior. O campo magnético entre as placas do capacitor é devido tanto à corrente no fio resistivo quanto à corrente de deslocamento embora uma superfície delimitada por um círculo a uma distância r do fio resistivo. A diferença de fase entre a corrente consumida pelo capacitor e a tensão aplicada pode ser calculada usando um diagrama fasorial.

Passo 2

Letra a:

A corrente puxada pelo capacitor é a soma da corrente de condução através do

fio de resistência e d Q d t , onde Q é a carga na placa superior de o capacitor:

I = I c + d Q d t

Expresse a corrente de condução Ic em termos da diferença potencial entre as placas e a resistência do fio:

I c = V R = V 0 R s i n ⁡ ω t

Já que Q   =   C V :

d Q d t = C d V d t = ω C V 0 c o s ⁡ ω t

Substituindo na equação:

I = V 0 R s i n ⁡ ω t + ω C V 0 c o s ⁡ ω t

A capacitância de um capacitor de placa paralela com área de placa A e separação de placa d é dada por:

C = ϵ 0 A d = ϵ 0 π a 2 d

Substituindo C na equação da corrente, a gente tem que;

I = V o 1 R s i n ⁡ ω t + ω ϵ 0 π a 2 d c o s ⁡ ω t

Passo 3

Letra b:

Aplique a forma generalizada da lei de Ampère a um caminho circular de raio r centrado dentro das placas do capacitor, onde I ' d , é a corrente de deslocamento através da superfície plana S limitada pelo caminho e I c é a corrente de condução através da mesma superfície:

∮ C B → ⋅ d l → = μ 0 I c + I d '

Por simetria, a integral de linha é 8 vezes a circunferência do círculo de raio r:

B ( 2 π r ) = μ 0 I e + I d '

Na região entre as placas do capacitor há um campo elétrico uniforme devido às cargas superficiais +Q e - Q. A corrente de deslocamento associada através de S é:

I d ' = ϵ 0 d ϕ e d t = ϵ 0 d d t A ' E = ϵ 0 A ' d E d t = ϵ 0 π r 2 d E d t

Para avaliar a corrente de deslocamento, primeiro devemos avaliar E em todos os lugares em S. Perto da superfície de um condutor, onde σ é a densidade de carga superficial:

E = σ / ϵ 0 ,  onde   σ = Q / A = Q / π a 2

Então,

E = Q ϵ 0 π a 2

Substituindo por E na equação por I ' d temos:

I d ' = ϵ 0 π r 2 d E d t = ϵ 0 π r 2 d d t V d = ϵ 0 π r 2 d d V d t = ϵ 0 π r 2 d d d t V 0 sin ⁡ ω t = ω ϵ 0 π r 2 d V a c o s ⁡ ω t

Resolvendo B na equação (3) e substituindo I c e I ' d temos:

B ( r ) = μ 0 I c + I d ' 2 π r = μ 0 2 π r V 0 R sin ⁡ ω t + ω ϵ 0 π r 2 d V 0 cos ⁡ ω t = μ 0 V 0 2 π r 1 R s i n ⁡ ω t + ω ϵ 0 π r 2 d c o s ⁡ ω t

Passo 4

Tanto a carga Q quanto a corrente de condução I c estão em fase com V . No entanto, d Q d t , que é igual à corrente de deslocamento I d em S para r ≥ a , atrasa I ' em 90 °.Matematicamente, c o s ( ω t ) é atrasado em 90º quando comparamos com s e n ( ω t ) . A tensão V é relacionada com a corrente I = I c + I d pelo ângulo de fase δ . A relação de corrente é expressa em termos das amplitudes de corrente:

I = I e + I d

Os valores das amplitudes das correntes de condução e deslocamento são obtidos por comparação com a resposta da Parte (a):

I c , m a x = V 0 R

E

I d , m a x = ω ϵ 0 π a 2 V 0 d

Um diagrama fasorial para adicionar as correntes I c e I d é mostrado à direita. A corrente de condução I c está em fase com a tensão V através do resistor e I d está atrasado em 90°:

A partir do diagrama fasorial, temos:

t a n ⁡ δ = I d m a x I c , m a x = V 0 ω ϵ 0 π a 2 d V 0 R = R ω ϵ 0 π a 2 d

Então,

δ = t a n - 1 ⁡ R ω ϵ 0 π a 2 d

Observações: O capacitor e o fio resistivo são conectados em paralelo. A diferença de potencial em cada um deles é a tensão aplicada V 0   s e n ( ω t ) .

Resposta

  1. V ∘ 1 R sin ⁡ ω t + ω ϵ 0 π a 2 d cos ⁡ ω x )
  2. μ 0 V 0 2 π r 1 R sin ⁡ ω t + ω ϵ 0 π r 2 d cos ⁡ ω t
  3. δ = t a n - 1 ⁡ R ω ϵ 0 π a 2 d
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