Enunciado

Um cilindro de uniforme, de massa M e raio R , tem um fio enrolado no seu entorno. O fio é mantido fixo, enquanto o cilindro cai verticalmente, como mostrado na figura. (a) Mostre que a aceleração do cilindro, para baixo, tem magnitude a = 2 g / 3 . (b) Determine a tensão no fio.

Passo 1

a) Oláaaa, querido!

Temos um cilindro caindo. Ele quer saber a aceleração dele

Se a gente precisa achar a aceleração, é uma boa usar a segunda lei de Newton aqui. E se tem segunda lei de Newton, precisamos do diagrama de corpo livre do ioiô:

Repara que temos duas forças atuando. A força peso F g que não causa torque porque a linha de ação dela passa pelo centro de massa do cilindro.

E temos a força de tensão na corda que envolve o cilindro. Ela está sendo aplicada na borda do cilindro, onde o fio está.

Então bora lá aplicar a segunda lei de Newton para achar aceleração desse cara.

Passo 2

Podemos aplicar a segunda lei de Newton para o centro de massa do cilindro. Colocamos o referencial no diagrama que coloca x positivo no sentido da aceleração dele. Aí ficamos assim:

∑ F x = M a x

F g - T = M a

M g - T = M a

T = M g - a   i

Não temos nem T nem a , então precisamos de mais uma equação para achar a .

Passo 3

Como o cilindro gira, porque a tensão na corda gera um torque nele, a gente pode aplicar aqui a segunda lei de Newton para a rotação também:

∑ τ = I α

A única força que gera torque no cilindro é a tensão T que não tem linha de ação passando pelo CM do cilindro. E como essa força é sempre perpendicular ao raio R do cilindro e está aplicada a essa distância do eixo de rotação no centro do cilindro, o torque gerado vale

τ = T R

E aí a segunda lei fica

T R = I α

A gente pode relacionar a aceleração linear a do ioiô com sua aceleração angular α   usando essa expressão:

a = R α → α = a R

Substituindo a nossa equação

T R = I a R

E I é o momento de inércia do cilindro. O momento de inércia de um cilindro em torno do eixo que passa pelo seu centro é

I = M R 2 2

Substituindo na nossa equação

T R = I a R

T R = 1 2 M R 2 a R

Simplificando:

T = 1 2 M a   i i

Passo 4

Aí a gente tem duas equações e duas incógnitas. Podemos achar a :

T = M g - a   i

T = 1 2 M a     i i

Substituindo a primeira na segunda:

M g - a = 1 2 M a

Arrumando

3 2 M a = M g

a = 2 g 3

Passo 5

b) Agora é só voltar pra expressão i i e achar a tensão substituindo a nossa expressão da aceleração:

T = 1 2 M a

T = 1 2 M 2 g 3

T = 1 3 M g

Te falei que era rápida!

Resposta

b )   T = 1 3 M g

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