1.

Dois discos de mesmo raio R e de massa diferentes, onde M 1 > M 2 , estão presos ao teto por fios ideais e enrolados em suas bordas. Liberados a partir do repouso eles caem verticalmente onde g é o módulo da aceleração local da gravidade; o momento de inércia de um disco em torno do seu eixo de rotação que passa pelo seu centro é igual 1 / 2 M R 2 . Os módulos das trações nos fios em cada disco são T 1 e T 2 e as acelerações dos seus centros de massa são a C M 1 e a C M 2 , respectivamente, a opção correta abaixo é:

  1. T 1 = T 2
  2. T 1 = M 1 g ; T 2 = M 2 g
  3. a C M 1 = a C M 2
  4. a C M 1 > a C M 2
  5. a C M 1 < a C M 2 e T 1 < T 2
Resolução
2.

Um cabo ideal está enrolado em volta de uma polia de raio R = 20   c m e massa M = 1,0   k g   e tem sua outra extremidade ligada a um bloco de m = 2,0   k g . O bloco se encontra apoiado sobre um plano inclinado de 30 ° em relação a horizontal. O sistema é solto a partir do repouso. Não existe atrito entre o plano e o bloco. Considerando o momento de inércia da polia I = M   .   R 2 2 , calcule:

a ) A aceleração angular da polia.

b ) a tração no cabo e o torque na polia.

c ) O módulo da aceleração linear a de um ponto na borda na polia após 0,5   s de iniciado o movimento.

Resolução
3.

Considere dois discos um de raio R 1 e de massa M 1 e outro de raio R 2 e de massa M 2 unidos concentricamente formando um sistema (disco composto) rígido, cujo momento de inércia vale I quando gira livremente em torno do eixo fixo e perpendicular ao plano dos discos passando pelo centro. Duas massas, m 1 e m 2 , presas a cordas finas e inextensíveis enroladas na periferia dos discos de raios R 1 e R 2 respectivamente, fazem girar o disco composto quando soltas; considere que g é o módulo da aceleração local da gravidade.

  1. Isole os blocos e o disco composto e represente em um diagrama de corpo livre todas as forças, identificando-as, que atuam em cada um deles; use como referência a vista lateral do sistema.
  2. Escreva as equações do movimento de rotação do disco composto e de translação dos blocos.
  3. Determine a aceleração angular, α , do disco composto.
  4. Determine matematicamente a condição para que o sistema esteja em equilíbrio
Resolução
4.

Uma máquina de Atwood possui massas m 1 = 2,0 k g , m 2 = 1,0 k g e uma polia maciça uniforme de massa M =2,0kg. O módulo da aceleração linear da massa m 1 vale:

a) 6,0 m / s 2

b) 3,3   m / s 2

c) 5,0   m / s 2

d) 2,5   m / s 2

e) 2,0   m / s 2

Resolução
5.

Um fio inextensível de massa desprezível é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um cilindro maciço de raio R 2 , segue horizontalmente até a periferia de outro cilindro de raio R 1 , pela qual passa e segue verticalmente, até sua extremidade, na qual está suspenso um bloco de massa m . Os cilindros, cada um também de massa m , são homogêneos e podem girar sem atrito, cada um em torno de seu eixo fixo. O bloco desce verticalmente puxando o fio que fica tenso e faz os cilindros girarem, sem deslizar sobre suas periferias. (O momento de inércia de um cilindro homogêneo de massa M e raio R relativo ao seu eixo é M R 2 / 2 )

  1. Faça um diagrama das forças externas que agem sobre o cilindro de raio R 1
  2. Calcule o módulo da aceleração com que desce o bloco.
  3. Obtenha o módulo da aceleração angular de cada cilindro.
  4. Calcule o módulo da tensão no trecho vertical do fio e o módulo da tensão no trecho horizontal do fio.

Resolução
6.

Um disco de raio R e massa M encontra-se fixado a uma parede vertical em um pino que passa pelo seu centro. Um cabo de massa desprezível passando pela sua periferia tem na sua extremidade um bloco de massa m sobre uma superfície horizontal. O cabo é puxado por uma força constante F → , ergendo o bloco de uma altura h , como mostra a figura. Desprezando-se o efeito de atrito entre o pino e o disco e considerando que o bloco e o disco estavam em repouso no momento em que a força F → começou a agira calcule:

  1. A aceleração com que o bloco é erguido;
  2. O módulo da tração que age sobre o trecho do cabo entre o disco e o bloco;
  3. A energia cinética adquirida pelo disco imediatamente após o bloco ser erguido da altura h .

Dado: o momento de inércia do disco para um eixo que passa perpendicularmente ao disco e pelo seu centro é 1 / 2 m R 2 .

Resolução
7.

Um corpo de massa m está suspenso por um fio de massa desprezível enrolado numa polia de raio R . A polia consiste em um disco rígido do qual foi retirado um pedaço, como mostra a figura. A polia tem massa M e gira sem atrito em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Se a massa desce com aceleração de módulo a , o momento de inércia da polia é:

  1. m R 2 g a + 1 ;
  2. m R 2 1 - g a ;
  3. m + M R 2 g a + 1 ;
  4. m R 2 g a - 1 ;
  5. m + M R 2 g a - 1 ;
Resolução
8.

Considere dois discos um de raio R 1 e de massa M 1 e outro de raio R 2 e de massa M 2 unidos concentricamente formando um sistema (disco composto) rígido, cujo momento de inércia vale I quando gira livremente em torno do eixo fixo e perpendicular ao plano dos discos passando pelo centro. Duas massas, m 1 e m 2 , presas a cordas finas e inextensíveis enroladas na periferia dos discos de raios R 1 e R 2 respectivamente, fazem girar o disco composto quando soltas; considere que g é o módulo da aceleração local da gravidade.

  1. Isole os blocos e o disco composto e represente em um diagrama de corpo livre todas as forças, identificando-as, que atuam em cada um deles; use como referência a vista lateral do sistema.
  2. Escreva as equações do movimento de rotação do disco composto e de translação dos blocos.
  3. Determine a aceleração angular, α , do disco composto.
  4. Determine matematicamente a condição para que o sistema esteja em equilíbrio
Resolução
9.

Um cabo ideal está enrolado em volta de uma polia de raio R = 20   c m e massa M = 1,0   k g   e tem sua outra extremidade ligada a um bloco de m = 2,0   k g . O bloco se encontra apoiado sobre um plano inclinado de 30 ° em relação a horizontal. O sistema é solto a partir do repouso. Não existe atrito entre o plano e o bloco. Considerando o momento de inércia da polia I = M   .   R 2 2 calcule:

a ) A aceleração angular da polia.

b ) a tração no cabo e o torque na polia.

c ) O módulo da aceleração linear a de um ponto na borda na polia após 0,5   s de iniciado o movimento.

Resolução
10.

Uma roldana com 0,20   m de raio está montada num eixo horizontal sem atrito. O momento de inércia da roldana em relação ao eixo de rotação é 0,05   k g   m 2 . Uma corda de massa desprezível está enrolada na roldana e presa a um bloco de 2,0   k g que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito. A corda não desliza em relação à roldana. Se uma força horizontal de módulo P   =   3,0   N é aplicada ao bloco, qual é o módulo da aceleração angular da roldana?

(A) 6,7   r a d / s 2

(B) 4,6   r a d / s 2

(C) 12   r a d / s 2

(D) 20   r a d / s 2

(E) 60   r a d / s 2

Resolução
11.

Uma roldana de massa M e raio R está montada num eixo horizontal sem atrito. O momento de inércia da roldana em relação ao eixo de rotação é I   =   M R 2 / 2 . Uma corda de massa desprezível está enrolada na roldana. Na extremidade livre da corda está suspenso um bloco de massa m . A corda não desliza em relação à roldana. O sistema é liberado a partir do repouso. Enquanto o bloco desce qual é a tensão na corda?

(A) m M m + 2 M g

(B) m R m + M g

(C) m 2 2 m + M g

(D) m M 2 m + M g

(E) m M 2 m + M R 2 g

Resolução
12.

Uma roldana tem a forma de um disco uniforme de massa 4,0   k g e raio 0,20   m (ver figura). A roldana está presa ao teto e gira livremente ao redor do seu centro. Um fio ideal passa pela roldana sem deslizar. Este fio está preso aos blocos 1 e 2 , de modo que os módulos das tensões indicadas valem, respectivamente, T 1 = 10   N e T 1 = 20   N

Dados: Considere g   =   10   m / s 2 e utilize que o momento de inércia de um disco uniforme de massa M e raio R em relação ao eixo que passa no seu centro de massa e é perpendicular à sua superfície é I C M = M R 2 / 2 .

Calcule

  1. O módulo do torque devido à T 2 , em relação ao centro de massa da roldana
  2. O módulo da aceleração angular que a roldana está sujeita
Resolução
13.

Um bloco de massa m encontra-se suspenso por uma corda ideal que passa por uma roldana de raio r , com momento de inércia I . A corda encontra-se enrolada ao cilindro central de um carretel na outra extremidade. O bloco é liberado a partir do repouso. A roldana e o carretel podem girar livremente (sem atrito) em torno de seus eixos fixos. Os centros de massa dos carretéis estão em repouso, não transladam.

  1. Considere os três carretéis abaixo feitos de materiais diferentes, com formas diferentes, de modo a terem a mesma massa. As distribuições de massa são homogêneas nas partes sólidas. Os três carretéis possuem o mesmo cilindro central. Com qual dos carretéis o bloco teria o menor valor da aceleração? Justifique sua resposta.
  2. Calcule o momento de inércia do carretel n º 2 , considerando que cada uma das hastes é delgada, tem massa 𝑀 e comprimento 3 R / 4 . Os anéis são finos com massa 𝑀 e raio 𝑅. O cilindro central possui massa M e raio R / 4 .
  3. Sabendo-se que o carretel utilizado foi o n º 2 . Qual a aceleração adquirida pelo bloco durante sua queda? Admita g = 9,81   m / s 2 , M =   5,00 × 10 - 1 K g , m = 3,00   k g , R =   1,00   m , r = 1,00 × 10 - 1 m e I = 5,00 × 10 - 3 k g . m 2 .
Resolução
14.

Um bloco de massa m = 4   k g está preso a uma mola por uma corda inextensível e sem massa que passa por uma roldana de massa   M = 8   k g e raio R = 5   c m , conforme mostrado na figura abaixo. A constante elástica da mola é 32   N / m . Trate a roldana como um disco maciço e homogêneo, despreze o atrito no eixo da roldana e assuma que o sistema parte do repouso com a mola não distendida.

Dado: Momento de inércia da roldana: I = M R 2 2

  1. A velocidade do bloco após ele cair 1 m .
  2. A distensão máxima da mola.

Resolução
15.

Uma máquina de Atwood possui massas m 1 = 2,0 k g , m 2 = 1,0 k g e uma polia maciça uniforme de massa M =2,0kg. O módulo da aceleração linear da massa m 1 vale:

a) 6,0 m / s 2

b) 3,3   m / s 2

c) 5,0   m / s 2

d) 2,5   m / s 2

e) 2,0   m / s 2

Resolução
16.

Dois blocos de massas m 1 = 1,5 k g e m 2 = 2,0 k g , como mostrado na figura, estão ligados por um fio e massa desprezível passando sobre uma polia de raio R = 25 c m e massa M = 3,5 k g . A polia é um disco uniforme e a corda não desliza sobre a polia. Desconsidere atrito no plano inclinado.

  1. Desenhe o diagrama de corpo livre para cada bloco e a polia.
  2. Determine a aceleração de cada bloco.
  3. Determine as tensões no cabo.
Resolução
17.

Os blocos de massas m 1 e m 2 estão conectados por uma corda sem massa que passa por uma polia, como mostrado na figura. A polia é um disco homogêneo que pode girar em torno do seu eixo sem atrito. A massa m 1 desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. Os dois blocos estão em repouso quando a massa m 2 é liberada.

a) suponha que a massa da polia seja desprezível. Encontre as acelerações dos blocos m 1 e m 2 e a tensão na corda.

b) Suponha agora que a massa da polia é m p e seu raio é R. Encontre a aceleração de m 1 e as tensões nas partes vertical e horizontal da corda. Verifique que seus resultados condizem com os obtidos no item a) quando você faz m p =0

Resolução
18.

Na figura, um fio sem massa e inextensível passa sem escorregar ao redor da polia. Numa extremidade do fio é pendurado um bloco de massa m2 = 500 g, na outra, um bloco de massa m1 = 400 g, e a polia, que é um disco homogêneo montado num eixo horizontal sem atrito, tem um raio de 5,00 cm. Quando o sistema é abandonado a partir do repouso, o bloco de massa maior cai 75,0 cm e adquire uma velocidade linear de 30,0 cm/s.

a) Faça os diagramas de força para cada bloco e polia.

b) Utilizando a conservação de energia mecânica determine a inércia rotacional da polia.

c) Determine o módulo e sentido da aceleração angular da polia.

d) Determine as tensões no fio e o vetor reação do eixo de rotação sobre a polia.

e) Qual é o vetor torque resultante em torno do eixo de rotação ? Faça dois cálculos, um utilizando a equação r → x   F → e outro I α .

f) Qual a força de atrito entre a corda e a polia?

Resolução
20.

Duas polias dentadas estão conectadas sem que ocorra deslizamento entre elas. A polia menor possui raio r e a maior, raio R. A polia maior está conectada a um objeto através de um fio ideal e uma engrenagem interna de raio r, conforme a figura. Em um dado instante, o objeto desce verticalmente com velocidade v. Nesse instante, a velocidade angular da polia menor é dada por:

  1. R r 2   v
  2. r R 2   v
  3. 1 r   v
  4. 1 R   v
  5. R - r r 2   v
Resolução
21.

Em uma exposição para vendas, um carro de massa M c é mantido a uma certa altura do solo através de um cabo ligado a um guindaste. Em um dado instante a trava que mantém o carro elevado falha e ao mesmo tempo começa a cair, fazendo o cabo desenrolar do tambor (cilindro maciço de raio R e massa M ) e girar a polia superior de raio r e massa m .

Após cair por uma distância H o sistema de segurança da máquina é acionado, fazendo com que o carro pare. Durante a queda, pode-se desprezar deslizamentos no movimento do cabo pelo tambor e pela polia.

Responda as perguntas abaixo desprezando a massa do cabo e apresente as respostas em função de M c , M , m , R , r , H e g .

(a) Calcule o módulo da velocidade do carro no instante imediatamente anterior ao acionamento do sistema de segurança.

(b) Calcule o módulo da aceleração do carro durante sua queda

(c) Calcule o módulo da tensão no cabo no trecho entre o tambor e a polia durante a queda do carro

Resolução
22.

Considere o sistema mostrado na figura abaixo. A massa m , que desliza sem atrito, está ligada à massa suspensa m ' pelo fio que passa sem deslizar sobre uma polia homongênea de massa M e raio R . A polia gira sem atrito sobre um eixo horizontal, perpendicular ao plano da polia, que passa por seu centro de massa. A aceleração da gravidade é dada por g e o momento de inércia da polia em relação ao eixo mencionado vale 1 2 M R ² . A aceleração a da massa m , em termos de m , m ' , M e g é:

  1. a = m ' g m ' + m + M 2
  2. a = m ' g m ' + m + M
  3. a = 2 m ' g m ' + m + M
  4. a = m g m ' + m + M 2
  5. a = m g m ' + m + m
  6. a = 2 m g m ' + m + M
  7. a = M g m ' + m + M 2
  8. a = M g m ' + m + M
  9. a = 2 M g m ' + m + M
Resolução
23.

Um bloco de massa m , suspenso por uma polia de raio R e massa M , é solto a partir do repouso. Considere a polia como um disco de densidade uniforme. Qual é a aceleração do bloco?

a) m g / ( m + M )

b) 2 m g / ( 2 m + M )

c) m g / ( 2 m + M )

d) 2 m g / ( 2 m - M )

e)   2 m g / M

Resolução
24.

Dois blocos de massa m 1 e m 2 são conectados por uma corda inextensível sem massa por uma polia de massa M e momento angular I e raio R , que gira em torno do seu eixo de simetria, em um plano inclinado com atrito dinâmico μ . O conjunto se move com m 2 se movendo para baixo e m 1 se movendo para cima. Considerando que a segunda lei de Newton fornece as equações do movimento de um corpo:

a) (1 ponto) Escreva a equação de movimento para os blocos de massa m 1 e m 2 ;

b) (1 ponto) Escreva a equação de movimento para a polia de massa M ;

c) (1 ponto) A partir dos seus resultados nos itens anteriores, calcule a aceleração linear do sistema e as trações no fio;

Resolução
25.

Duas massas m 1 e m 2 estão penduradas por 2 fios inextensíveis e de massas desprezíveis a uma polia. A polia é formada por 2 discos, ligados de maneira que formam um corpo único. Considere o momento de inércia total da polia em relação ao seu centro de massa como sendo I p o l i a . O fio 1 ligado a m 1 está enrolado no disco externo de raio R 1 e o fio 2 ligado a m 2 está enrolado no disco interno de raio R 2 . Despreze o atrito.

  1. Escreva as equações de movimento (2ª Lei de Newton) para o sistema de forma que fosse possível determinar a aceleração angular da polia α .
  2. Suponha agora que R 1 = 1,2   m e R 2 = 0,4   m . Se m 1 = 24   k g , m 2 = 72   k g e I p o l i a = 40   k g . m 2 , o sistema se encontra em equilíbrio estático. Calcule os torques τ 1 → e τ 2 → que os fios realizam sobre o corpo.
  3. Escreva os torques primeiro em notação literal para então substituir os valores dados. Utilize o sistema de coordenadas indicado.

  4. Suponha que uma massa de 6,0   k g seja adicionada no topo da massa m 1 dada no item anterior e que o sistema entre em movimento. No instante de tempo em que a massa m 1 tiver alcançado em módulo uma velocidade v 1 = 3,6   m / s , calcule v 2 o módulo da velocidade da massa m 2 neste mesmo instante.
Resolução
27.