Enunciado

Colisão de um asteróide! Suponha que um asteróide se desloque diretamente para o centro da Terra e venha a colidir com o nosso planeta na altura do Equador, penetrando na superfície terrestre. Qual teria de ser a massa desse asteróide em relação à massa M da Terrra, para que o dia ficasse 25% mais longo do que atualmente, em decorrência da colisão? Suponha que o asteróide seja muito pequeno em comparação com a Terra e que a Terra seja homogênea.

Passo 1

Fala galerinha, tudo certo?

Bom... o enunciado fala pra gente supor que um asteroide vai bater bem no centro da Terra e penetrar na superfície.

Queremos saber qual teria de ser a massa desse asteroide em relação à massa M da Terra, para que o dia ficasse 25% mais longo do que atualmente, em decorrência da colisão.

Para a resolução do problema, vamos aplicar a conservação do momento referente ao sistema terra + asteroide.

L = I ω

Onde L é o momento angular, I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular.

Observação: O momento de inércia da terra será I = 2 5 M R 2 .

Onde M é a massa da Terra e R é o seu raio.

Passo 2

Para um dia a rotação equivale a:

T = 2 π ω

Onde T é o período.

Queremos que o período T 2 depois da colisão seja 25% mais longo do que o período T 1 antes da colisão

T 2 = 1,25 T 1 = 5 4 T 1

Agora mudando para frequência

2 π ω 2 = 5 4 2 π ω 1 ∴

ω 1 = 5 4 ω 2

Passo 3

O momento angular é dado por

L = I ω

Antes da colisão o sistema da terra possui:

L = 2 5 M R 2 ω 1

Com a colisão adicionamos a parcela do asteroide ao sistema:

I = m R 2

E aí

L = m R 2 + 2 5 M R 2 ω 2  

Fazendo a conservação de momento angular temos:

2 5 M R 2 ω 1 = m R 2 + 2 5 M R 2 ω 2

Cortando R , nos dois lados:

2 5 M ω 1 = m ω 2 + 2 5 M ω 2

m = 2 5 M ω 1 - ω 2 ω 2

Passo 4

Substituindo a relação:

ω 1 = 5 4 ω 2

Temos:

m = 2 5 M 5 4 ω 2 - ω 2 ω 2 ∴

m = 2 5 M ω 2 5 4 - 1 ω 2 ∴

m = 2 5 M 5 4 - 4 4 ∴

m = 2 5 M 1 4 ∴

m = M 10

Belezinha?

Resposta

Resposta: m =   M / 10

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