Lista de Exercícios Resolvidos de Conservação do Momento Angular

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Um homem com os braços junto ao corpo está em cima de uma cadeira giratória que gira sem atrito. Quando o homem estende os braços:

a) A velocidade angular da cadeira aumenta

b) A velocidade angular da cadeira continua a mesma

c) O momento de inércia do homem diminui

d) A energia cinética do sistema aumenta

e) O momento angular do sistema continua o mesmo

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Considere as afirmativas abaixo:

(I) Em uma colisão inelástica, o momento linear do sistema nunca é conservado.

(II) A velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é sempre constante.

(III) Forças internas nunca alteram o momento linear total de um sistema de partículas.

(IV) O momento linear e o momento angular de um sistema de partículas sempre se conservam sob a ação de um par de forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.

São verdadeiras apenas as afirmativas:

(a) I

(b) III

(c) II e IV

(d) II e III

(e) III e IV

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O rotor de um motor elétrico tem um momento de inércia I m = 2,0 . 10 - 3   k g . m 2 em relação ao eixo central. O motor é usado para mudar a orientação da sonda espacial no qual está montado. O eixo do motor coincide com o eixo central da sonda; a sonda possui um momento de inércia I p = 12   k g   .   m 2 em relação a esse eixo. Calcule o número de revoluções do rotor necessárias para fazer a sonda girar 30 ° em torno do eixo central.

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Um disco uniforme é montado em um eixo horizontal de massa desprezível, em torno do qual pode girar livremente, como mostra o diagrama. O momento de inércia do disco em relação ao eixo é I . O disco está inicialmente girando com velocidade angular ω 0 ; vide figura. O disco é movimento horizontalmente para esquerda até que sua face entre em contato com um disco idêntico, que está inicialmente em repouso. Depois de um pequeno intervalo de tempo, os dois discos acoplam-se e passa a girar juntos com uma velocidade angular final ω f . Em relação às grandezas: velocidade angular final, energia cinética de rotação e momento angular do sistema, pode-se afirmar que ao final do processo de acoplamento:

  1. ω f = ω 0 / 2 , não é conservada, não é conservado;
  2. 2 ω f = ω 0 , é conservada, não é conservado;
  3. ω f = ω 0 , é conservada, não é conservado;
  4. ω f = ω 0 / 2 , não é conservada, é conservado;
  5. ω f = ω 0 / 2 , é conservada, é conservado;

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Uma nave espacial isolada tem um eixo de simetria em relação ao qual seu momento de inércia é I 0 . A nave gira em torno desse eixo com velocidade angular constante de módulo ω 0 . Aciona-se um mecanismo interno da nave que reduz seu tamanho, sem perder sua simetria relativa ao eixo de rotação, de modo que ao final seu momento de inércia relativo a esse eixo se reduz a I f = 2 I 0 / 3 . A velocidade angular final ω f da nave no tamanho final é dada por

(a) ω f = 3 2 ω 0

(b) ω f = ω 0

(c) ω f = 3 2 ω 0

(d) ω f = 2 3 ω 0

(e) ω f = 2 3 ω 0

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Uma estrela em rotação sofre uma contração e seu momento de inércia diminui para 1 / 3 do valor inicial. Qual a razão entre a energia cinética rotacional inicial, K i , da estrela e sua energia cinética rotacional final, K f ?

(a) K i / K f = 1

(b) K i / K f = 3

(c) K i / K f = 1 / 3

(d) K i / K f = 3

(e) K i / K f = 3 / 3  

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Um caracol de massa m encontra-se inicialmente em repouso na extremidade, ponto O , de uma barra rígida e homogênea de comprimento L (conforme a figura), que gira com velocidade angular ω 0 em torno de um eixo fixo z que passa pelo ponto O , perpendicularmente a barra horizontal. Em um certo instante, o caracol desloca-se até a extremidade oposta da barra, ponto B , onde permanece. Nesta situação a barra gira com velocidade angular ω ' . Sendo I 0 , o momento de inércia do sistema com relação ao eixo z quando o caracol está no ponto O e I B o momento de inércia do sistema com relação ao eixo z quando o caracol está no ponto B , das opções abaixo, a correta é

  1. I B > I 0 ; ω ' < ω 0
  2. I B > I 0 ; ω ' > ω 0
  3. I B < I 0 ; ω ' > ω 0
  4. I B < I 0 ; ω ' < ω 0
  5. I B = I 0 ; ω ' = ω 0

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Uma nave espacial isolada tem um eixo de simetria em relação ao qual seu momento de inércia é I 0 . A nave gira em torno desse eixo com velocidade angular constante de módulo ω 0 . Aciona-se um mecanismo interno da nave que reduz seu tamanho, sem perder sua simetria relativa ao eixo de rotação, de modo que ao final seu momento de inércia relativo a esse eixo se reduz a I f = 2 I 0 / 3 . A velocidade angular final ω f da nave no tamanho final é dada por

(a) ω f = 3 2 ω 0

(b) ω f = ω 0

(c) ω f = 3 2 ω 0

(d) ω f = 2 3 ω 0

(e) ω f = 2 3 ω 0

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Um homem segurando um peso de papel igual em cada mão, com os braços estendidos, está de pé sobre um pedestal que gira sem atrito com velocidade angular de 60   r e v / m i n . Nesta posição, o momento de inércia total do sistema (pedestal + homem + pesos) é de 6,0   k g . m 2 .

a ) Quando o homem encolhe os braços, o momento de inércia total muda para 2,0   k g .   m 2 . Nesta posição, qual é a velocidade angular do pedestal?

b ) Suponha agora que cada peso de papel tenha uma massa de 1,5   k g   e que a distância da mão estendida até o eixo do corpo seja de 50   c m . Se ele largar os pesos e manter os braços estendidos, qual será o novo valor do momento de inércia do sistema (pedestal + homem)?

c ) Na situação do item b , calcule o novo valor da velocidade angular do sistema após o homem largar os pesos.

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Duas esferas de M = 2,00   k g são presas às extremidade de uma barra fina de massa desprezível, de L = 1,00   m de comprimento. A barra pode girar livremente, sem atrito, num plano vertical, em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Enquanto a barra está na horizontal como mostra afigura, uma massinha de m = 1,00   k g cai com velocidade de 3,00   m / s sobre uma das esferas e fica grudada a ela. Considerando as esferas como massa pontuais, calcule:

a ) O momento de inércia do sistema em torno do eixo após a colisão.

b ) A velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão.

c ) O vetor torque resultante realizado pela força peso no sistema quando a barra faz uma ângulo de 30 ° com a horizontal.

d ) Qual será o ângulo medido a partir da horizontal em que o sistema irá parar temporariamente.

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( i i i ) A figura mostra uma barra homogênea pendurada, de comprimento L   =   1,00   m e massa M   =   1,00   k g , que gira em torno de um eixo numa de suas pontas. A barra, inicialmente em repouso, é atingida por uma partícula de massa m   =   100   g num ponto d   =   0,800   L abaixo do eixo. Admita que a colisão é perfeitamente inelástica. Qual deve ser a velocidade   v da partícula para que, após a colisão, o ângulo máximo entre a barra e a vertical seja de 90 ° ?

Utilize g   =   10   m / s 2 .

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Um disco uniforme, colocado sobre uma superfície horizontal sem atrito, possui massa m = 2   k g e raio r = 0 , 5   m . O disco gira livremente ao redor de um eixo vertical passando no seu centro com velocidade angular ω = 20   r a d / s .

Dados: Momento de inércia de um disco uniforme I = M R 2 / 2

  1. Qual o módulo do momento angular do disco em relação ao seu centro de massa?
  2. Num certo instante, uma partícula de massa 1 K g é colocada na borda do disco e passa a girar junto com ele. Qual a velocidade angular final do sistema disco + partícula?

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Um CD de massa M = 10   g e raio R = 5,0 c m está parado e livre para rodar em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. Na borda do CD um besouro, de massa M / 2 , começa a se movimentar com uma velocidade que é tangencial à borda. Se o módulo da velocidade do besouro, medida em relação a um ponto fixo na Terra, é de 0,25   c m / s , a velocidade angular do CD vale:

  1. 0,01   r a d / s .
  2. 0,02   r a d / s .
  3. 0,05   r a d / s
  4. 0,25   r a d / s .
  5. 0,1   r a d / s

Momento de inércia de um disco cujo eixo de rotação passa pelo seu centro de massa: I c m = M R 2 2

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Durante um salto até o seu companheiro de número, um trapezista pretende fazer quatro cambalhotas (quatro voltas) em um intervalo de tempo ∆ t = 2 s . Durante o primeiro quarto da primeira cambalhota e durante o último quarto da última cambalhota, ele mantem o corpo esticado como na figura, com um momento de inércia I 1 = 20 k g . m 2 em relação ao centro de massa. Durante o resto do percurso ele mantém o corpo dobrado, com um momento de inércia I 2 = 4 k g . m 2 .

  1. Qual deve ser a velocidade ω 2 do trapezista em torno do eixo que passa pelo centro de massa quando ele está com o corpo dobrado?
  2. Qual deve ser o momento angular do trapezista em relação ao centro de massa durante o salto?
  3. Qual a razão entre as energias cinéticas de rotação, K 2 K 1 ?

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Uma haste fina de massa M   =   30   g   e comprimento d   =   30   c m , inicialmente em repouso, pode girar horizontalmente sobre uma mesa, sem atrito, em torno do ponto O, como mostra a figura. Um pedaço de massa de vidraceiro de massa m   =   10   g , com velocidade v   =   3,0   m / s , colide com a haste em uma das extremidades, permanecendo grudado nela.

  1. Qual é o momento angular do sistema haste+massa imediatamente antes da colisão?
  2. Qual é a velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão?
  3. Qual é a razão entre a energia cinética do sistema haste+massa depois e antes da colisão?

Dado: O momento de inércia de uma haste de massa M e comprimento d em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é I c m = M d 2 12 .

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Uma partícula de massa m e velocidade v desliza sobre uma superfície horizontal e colide com um quadrado formado por barras rígidas de massa desprezível e comprimento l , que possui partículas de massa m em três dos seus vértices, como mostrado na figura (vista de cima). O quadrado está inicialmente em repouso, e o atrito entre todos os corpos e a superfície pode ser desprezado. Após a colisão, a partícula fica colada ao quadrado no vértice que estava vazio. Expresse todas as respostas em função de m , l e v .

(a) Que grandezas físicas relevantes para o problema são conservadas na colisão? Justifique sua resposta.

(b) Determine o momento de inércia do sistema, após a colisão, em torno do eixo de rotação relevante para o problema.

(c) Determine o vetor velocidade de translação do centro de massa do sistema após a colisão.

(d) Determine o vetor velocidade angular de rotação do sistema em torno do seu eixo.

(e) Qual é a variação de energia cinética do sistema devido à colisão?

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Uma barra delgada homogênea de comprimento L e massa M está inicialmente em repouso como mostra a figura. Preso a uma de suas extremidades há um objeto de massa m e dimensões desprezíveis. Um segundo objeto do mesmo tipo move-se na direção do eixo x , com velocidade v 0 → constante. No instante t = 0 o segundo objeto atinge a outra ponta da barra e adere a ela de forma permanente. Não há atrito no movimento dos objetos sobre o plano horizontal ( x , y ) . Use para descrever o movimento da barra o ângulo θ entre a barra e o eixo y , considerando como positivo o sentido anti-horário.

a ) Determine o momento de inércia I C M do conjunto de corpos, depois do choque, em relação a um eixo na direção z ^ , passando pelo centro de massa.

b ) Determine a velocidade V → do centro de massa do conjunto de corpos, depois do choque.

c ) Determine a velocidade angular ω → do conjunto de corpos, depois do choque, em relação a um eixo na direção z ^ , passando pelo centro de massa.

d ) Determine a velocidade v → ( t ) do segundo corpo, depois do choque, em relação à origem O do sistema de coordenadas mostrado na figura.

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Considere o rotor de um helicóptero como sendo formado por três pás de comprimento   L e massa M , unidas em suas extremidades (a largura e a espessura são desprezíveis em relação a   L ). O eixo do rotor é perpendicular ao plano das pás (vide figura).

a) Calcule o momento de inércia de cada pá em relação ao eixo do rotor e o momento de inércia total do rotor.

b) Se M = 200 k g e L = 5 m , calcule o torque τ necessário para que a velocidade angular do rotor varie uniformemente de zero a 300   r p m em 5 segundos.

c) Qual a potência média transferida ao rotor nesse intervalo de tempo?

d) Considere que o momento de inércia da cabine do helicóptero em relação ao eixo do rotor seja de I c a b = 25000 k g . m 2 .Se não houvessem forças externas atuando sobre o conjunto cabine+rotor, qual seria a velocidade angular da cabine ao final do intervalo de tempo do item b?

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Um alvo é constituído por uma placa quadrada de lado l e massa M que pode girar sem atrito em volta de um eixo passando por um dos seus lados. O eixo é fixado horizontalmente numa parede e o alvo colocado na sua posição de repouso, conforme mostrado na figura. Em seguida, ele é atingido frontalmente em seu centro por uma partícula de massa m e velocidade v que fica retida no centro da placa. Usando o ponto 0 como origem quando for preciso, e supondo M = 9 m ( 9 vezes a massa da partícula), responda às seguintes perguntas, expressando suas respostas em termos de m , l , v e g .

(a) Calcule o momento de inércia total do sistema depois da colisão em torno do seu eixo de rotação, sabendo que o momento de inércia de uma barra delgada de mesma massa M e largura l em relação a um eixo passando pelo seu centro (e perpendicular à barra) é I = M l 2 12 .

(b) Qual é a velocidade angular da placa logo após o impacto da bala?

(c) Qual é a altura máxima atingida pelo centro de massa da placa antes que ela comece a oscilar em torno da sua posição vertical inferior?

(d) Qual é a aceleração angular da placa, naquela altura máxima, expressada em função do ângulo θ que ela faz em relação à sua posição de repouso?

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Uma pessoa está com os braços abertos sobre uma plataforma giratória (com atrito desprezível no giro) presa ao chão. Nessa posição, o momento de inércia da pessoa com a plataforma é I = 1,99   k g . m 2 em relação ao eixo de rotação da plataforma. Um disco uniforme de massa m = 2,00   k g raio r = 0,10   m é lançado com velocidade v → = - 2,00   m / s   i → e velocidade angular ω → = - 80,0   r a d / s   k → conforme a figura. O disco é agarrado pela mão e para de girar, ficando seu centro a uma distância d = 1,00   m do centro do sistema pessoa-plataforma, na altura dos braços. Determine:

a) O vetor momento angular do disco em relação ao seu centro de massa antes de ser agarrado.

b) O vetor momento angular total do disco em relação ao centro do sistema pessoa-plataforma na altura dos braços, antes de ser agarrado.

c) O momento de inércia do conjunto plataforma-pessoa-disco em relação ao eixo de rotação da plataforma, após o disco ser agarrado.

d) Qual o vetor velocidade angular Ω → do conjunto plataforma-pessoa-disco após o disco ser agarrado pela mão? Girará o conjunto no sentido horário ou anti-horário?

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Um haltere é formado por duas partículas de massa m (1 e 2) ligadas por uma haste rígida, de massa desprezível e comprimento l . O haltere pode deslizar sem atrito sobre uma mesa. Uma partícula 3 de massa m , com velocidade inicial v o (perpendicular à haste do haltere) colide com uma das partículas, como mostrado na figura.Sendo a colisão perfeitamente elástica, determine

a) Imediatamente após a colisão, a velocidade linear das partículas 2 e 3 (indicando a direção e sentido).

b) O impulso sofrido pela partícula 2.

c) Após a colisão, qual a velocidade linear do centro de massa do haltere?

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Um carrossel em forma de disco sólido homogêneo, com massa M = 200   k g e raio R = 1,5 m , está fixo em seu centro de massa por um eixo vertical e pode girar sem atrito no plano horizontal. Partindo do repouso, o carrossel é submetido a uma aceleração angular constante de 0,50   r a d / s 2 no sentido anti-horário, até atingir uma velocidade angular 3,0   r a d / s .

a ) Determine o deslocamento angular realizado pelo carrossel durante seu processo de aceleração e o tempo necessário até atingir sua velocidade angular final.

Cessada a aceleração, o carrossel se mantém com velocidade angular de 3,0   r a d / s . Um menino de massa m = 40   k g , correndo com uma velocidade v 0 = 5   m / s na direção mostrada na figura, tal que ϕ = 30 ° , salta sobre a borda do carrossel e se agarra a ele. Modele o menino como uma partícula.

b ) Determine os vetores angular do menino e do carrossel, respectivamente L → m e L → c , imediatamente antes do salto do menino sobre o carrossel(use o sistema de coordenada mostrado na figira).

c ) Determine a velocidade angular final do conjunto carrossel + menino e o sentido da rotação (horário ou anti-horário) após o menino saltar no carrossel.

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Na figura abaixo observa-se uma barra fina uniforme no plano horizontal x z de massa desprezível e comprimento l . Ela está inicialmente em repouso e presa a um eixo que passa pelo seu centro de massa e aponta na direção y . Este eixo pode girar livremente. Duas partículas de massa 𝑚 e 2𝑚 se movimentam paralelamente com velocidade 𝑣 na direção ( - k → ) e vão se chocar simultaneamente com a barra nas suas extremidades, como mostra a figura. Após a colisão as partículas ficam grudadas na barra.

O módulo da velocidade angular do sistema logo após a colisão é igual a:

(a) 2 v 3 l

(b) v l

(c) 3 v l

(d) v 3 l

(e) 𝐴 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠ã𝑜 é 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠ã𝑜 é 𝑧𝑒𝑟𝑜.

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Um aro uniforme de raio r   =   0,2   m e massa M   = 1,0   k g está preso a um fio de massa desprezível e está girando em uma superfície horizontal. Na figura abaixo, a trajetória do centro de massa do aro está indicada pela circunferência tracejada. A trajetória tem raio R 1   = 1,0   m e a velocidade angular do aro é ω 1   =   2   r a d / s . Suponha inicialmente que não há atrito entre o aro e a superfície.

a ) Escreva o módulo do momento angular L 1 do aro em relação ao centro da trajetória.

b ) Um dispositivo oculto no centro da trajetória diminui o raio para R 2 =   80   c m . Neste novo raio, qual é o novo valor da velocidade angular ω 2 ? Justifique claramente o conceito

físico utilizado.

c ) Encontre o trabalho realizado pelo dispositivo oculto da letra b.

d ) Suponha agora que há atrito entre o aro e a superfície. Se no instante t   =   0 o aro está girando na circunferência de raio R 1 (original) e com velocidade angular ω 3   =   4   r a d / s , e que o coeficiente de atrito estático é 0,4   e o de atrito cinético é 0,3 , calcule o intervalo de tempo que o aro demora em parar totalmente.

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Dois astronautas, cada um tendo massa M , estão ligados por uma corda de comprimento d , com massa desprezível. Eles se encontram isolados no espaço, orbitando ao redor do centro de massa comum com velocidades escalares v , tangenciais à corda, no sentido

mostrado na figura. Modele os astronautas como partículas.

a ) Encontre o módulo do momento angular do sistema em relação ao centro de massa.

b ) Os astronautas começam a puxar a corda simultaneamente de tal forma que, ao final, reduzem sua distância para d 2 . Nesta nova configuração, determine o período de rotação dos dois em relação ao centro de massa comum.

c ) Calcule o trabalho total realizado pelos astronautas ao recolher a corda.

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Durante uma competição de bilhar, Efren Manalang Reyes, um dos melhores jogadores de todos os tempos, atinge a bola com o seu taco como indicado na figura A   ( φ > 45 ) . O taco exerce uma força constante F → (alinhada com o taco como mostra a figura A) durante um intervelo de tempo Δ t , produzindo na bola um impulso linear de módulo J. A bola (massa M e raio R ) ao ser atingida pelo taco não rococheteia e move-se em linha reta para a

Direita, girando como indicado na figura B até um instante t D medido a partir do início do movimento. A partir desse instante de tempo, a bola começa a deslizar, sem girar, sobre a mesa até o instante t g , a partir do qual começar a rolar sem deslizar. O coeficiente de atrito entre a bola e a mesa é μ .

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Uma patinadora passa a girar mais rápido ao fechar os seus braços, como ilustrado na figura abaixo.

Isso ocorre porque:

(A) A patinadora sofre um torque externo que aumenta a sua aceleração angular.

(B) A energia rotacional da patinadora é conservada e, como o momento de inércia da patinadora diminui, a sua velocidade angular aumenta.

(C) O momento angular da patinadora é conservado e, como o momento de inércia da patinadora diminui, a sua velocidade angular aumenta.

(D) O centro de massa da patinadora muda e a variação de energia potencial gravitacional é convertida em rotação.

(E) Nenhuma das afirmações acima.

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Dois patinadores de mesma massa m aproximam-se um do outro em trajetórias paralelas separadas por uma distância d, como mostrado na figura. Eles possuem velocidades de mesmo módulo v 0 . Quando passam um pelo outro, dão-se as mãos, mantendo a distância de d entre eles. Em um certo instante, os dois patinadores se puxam encurtando a distância entre eles que passa a ser d ' = d 2 , e assim permanecem. Nesta situação final, qual é a velocidade angular de rotação do sistema em torno de seu centro de massa?

  1. 8 v 0 d
  2. v 0 2 d
  3. 0
  4. v 0 4 d
  5. 2 v 0 d
  6. 4 v 0 d

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Um carrossel de raio R e momento de inércia I em relação ao eixo de rotação está girando, sem atrito, com velocidade angular ω constante ao redor do eixo vertical, que passa perpendicularmente pelo seu centro. Uma criança de massa m, que está inicialmente em repouso no solo, salta sobre o carrossel e consegue sentar na sua borda e aí permanece. A nova velocidade angular do carrossel é:

  1. I I + m R 2 w
  2. I m R 2 w
  3. w
  4. M R 2 I w
  5. m R 2 + I I w

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ENUNCIADO A: Após um acidente, dois astronautas se encontram isolados no espaço, ligados por um cabo esticado de comprimento D , e, girando com velocidade angular ω em relação a um eixo ortogonal ao cabo e que passa pelo centro de massa do sistema formado por eles (ver figura). Podemos considerar que as dimensões dos astronautas são muito menores que a extensão do cabo e, trata-los como se fossem duas partículas

Considere o problema apresentado ENUNCIADO A. Em um dado instante, os dois astronautas começam a se aproximar puxando o cabo. Das afirmações abaixo, assinale aquelas que são corretas.

(I) O momento de inércia de cada astronauta em relação ao eixo de rotação é tal que I 1 > I 2

(II) O momento angular do sistema em relação ao eixo apresentado se manterá constante

(III) Quando a distância entre os astronautas tiver sido reduzida pela metade a velocidade angular deles será ω ' = 4 ω .

  1. Todas as afirmações são corretas
  2. Apenas (I) e (II)
  3. Apenas (I)
  4. Apenas (III)
  5. Apenas (II) e (III)

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Em uma vareta rígida de comprimento 2 d e massa desprezível estão presas três bolinhas idênticas de massas iguais m . Duas delas encontram-se unidas no centro da vareta enquanto a outra está fixa na sua extremidade. Considere que o raio das bolinhas é muito pequeno comparado com a distância d . O sistema de varetas-bolinha gira com velocidade angular ω constante, em um plano horizontal sem atrito, em torno de um eixo que passa pelo ponto O . A figura mostra o sistema visto de cima no instante t 0 . Em um certo instante de tempo posterior, uma das bolinhas do centro se solta e escorrega pela vareta pela vareta até se prender à bolinha da extremidade.

O sistema permanece girando mas passa a se mover com velocidade ω ' constante em módulo dada por:

a) ω ' = 1 9 ω

b) ω ' = 2 3 ω

c) ω ' = 2 3 ω

d) ω ' = ω

e) ω ' = 3 ω

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Uma barra rígida, que tem sua massa M distribuída de maneira uniforme em seu comprimento L , está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito. Uma partícula de massa m se aproxima se aproxima da barra com uma velocidade de módulo v 0 e colide com ela a uma distância d de seu centro, conforme mostra a figura. Após a colisão a partícula fica alojada na barra e o conjunto composto pela barra e a partícula passa a se movimenta em conjunto.

Considerando o sistema composto pela barra e a partícula, qual das quantidades a seguir não se mantém constante no processo de colisão entre a partícula e a barra?

a) Massa do sistema

b) Momento angular em relação ao ponto que, antes da colisão, coincide com o centro da barra

c) Energia cinética do sistema

d) Momento linear do sistema

e) Velocidade do centro de massa do sistema

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Considere um sistema composto por um cilindro de massa 2 M e raio R , uma haste de massa 2 M e comprimento 6 R e dois discos de massa M . Os discos estão encostados no cilindro, presos por um freio, como ilustra a figura. Um torque externo coloca o sistema em rotação em torno do eixo-y no sentido horário sendo desligado quando a velocidade angular ω i é alcançada. Neste instante o freio que prende os discos é retirado e os discos deslizam pela haste até as suas extremidades.

a) Encontre a nova velocidade angular do sistema ω f quando os discos chegarem nas extremidades da haste. Considere os discos como massas pontuais.

Dados: I c m = β m R 2 sendo:

β a n e l = 1 ;

β c i l i n d r o / d i s c o = 1 2 ;

β e s f e r a = 2 5 ;

I c m   b a r r a = 1 12 m l 2 ;

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Um pequeno bloco de massa m   =   250   g gira sobre uma superfície horizontal sem atrito e faz uma trajetória circular de raio r   =   80,0   c m com velocidade tangencial v   =   1,40   m / s . O bloco está preso a uma corda de massa desprezível que passa por um furo no centro da superfície como mostra a figura. Num dado momento a corda é cuidadosamente puxada para baixo reduzindo o raio da trajetória do bloco para r ' =   40,0   c m . Considere o bloco como uma partícula e responda:

(a) Durante o intervalo de tempo em que a corda é puxada, o momento angular do bloco em torno do furo é conservado? Justifique.

(b) Qual é a nova velocidade angular do bloco após a redução do raio da trajetória? Determine a variação de sua energia cinética.

(c) Determine a expressão literal que fornece o módulo da tensão no fio em função da massa m , do raio r e do momento angular L em torno do furo.

(d) Seja a tensão máxima que o fio suporta igual a 30,0   N . Determine o raio da trajetória que o bloco percorre e a sua velocidade tangencial quando o fio estiver prestes a arrebentar.

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Suponha que uma pessoa está em uma cadeira giratória, girando com certa velocidade angular, com os braços abertos. Ao recolher os braços, aproximando-os do corpo,

(A) a sua velocidade angular aumenta e seu momento angular diminui.

(B) a sua velocidade angular e o seu momento angular permanecem constantes.

(C) a sua velocidade angular diminui e o seu momento angular permanece constante.

(D) a sua velocidade angular aumenta e o seu momento angular permanece constante.

(E) a sua velocidade angular e o seu momento angular aumentam.

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12 . A soma vetorial de todos os torques que atuam sobre uma partícula é proporcional à taxa de variação temporal de qual das seguintes grandezas?

a ) a força resultante;

b ) momento de inércia;

c ) a velocidade angular;

d ) momento angular;

e ) a energia cinética de rotação;

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Um corpo uniforme de massa m = 300   g está preso a um fio ideal de massa desprezível que passa por um buraco no centro da superfície. A superfície se encontra no plano x y . O corpo está inicialmente descrevendo uma trajetória circular em sentido anti-horário sobre a superfície horizontal com velocidade linear inicial v i = 1   m / s e raio inicial medido a partir do seu centro de massa de R i = 20,0   c m . O fio é puxado por uma força F após o fio ter passado pelo buraco conforme a figura.

Quando a força F para de atuar, o raio da trajetória final é de R f = 5   c m . Desconsidere o atrito entre o fio e o buraco e entre o corpo e a superfície.

a) Determine o vetor momento angular inicial do corpo girando em torno do eixo de rotação.

b) Determine o vetor velocidade angular final do corpo.

c) Encontre o trabalho realizado pela força F sobre o corpo.

d) Marque a única alternativa correta: Após ter reduzido o raio da trajetória em relação a trajetória inicial,

(i) o momento angular e a energia cinética se conservam pois não há força externa atuando no sistema.

(ii) o momento angular se conserva pois não há forças externas produzindo um torque no sistema e a energia cinética não se conserva.

(iii) o momento angular não se conserva, pois a força produz um torque externo no sistema e a

energia cinética se conserva pois não há colisão.

(iv) o momento angular não se conserva, pois a força produz um torque externo no sistema e a

energia cinética não se conserva.

(v) o momento de inércia do sistema muda, por isso não se conservam nem o momento angular e nem a energia cinética.

(vi) Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

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Uma esfera maciça homogênea, de massa M E = 0,400   k g e raio R E = 5,00   c m , está fixada por sua periferia à extremidade de uma barra fina homogênea, de massa M B = 0,600   k g e comprimento l = 30,0   c m . O conjunto barra-esfera está disposta sobre uma mesa horizontal sem atrito, de modo que pode girar livremente em torno de A . Considere as seguintes expressões para os momentos de inércia em torno dos centros de massa: I e s f e r a = 2 5 M E R 2 e I b a r r a = 1 12 M B l 2 .

a) Calcule, em k g   m 2 , o momento de inércia I B E do conjunto barra-esfera em relação ao ponto A .

O conjunto barra-esfera, inicialmente em repouso, recebe o impacto de uma bala de massa m que se dirige perpendicularmente à barra com velocidade escalar v . Como resultado deste impacto de duração muito curta, a bala acaba se alojando exatamente no centro da esfera, e o novo conjunto, barra-esfera-bala, passa a rodar em torno de A .

b) Julgue cada afirmativa como Verdadeira ou Falsa e depois justifique sua resposta.

(i) A energia cinética total do sistema barra-esfera-bala é conservada durante a colisão.

(ii) O momento linear total do sistema barra-esfera-bala é conservado durante a colisão.

(iii) O momento angular total do sistema barra-esfera-bala é conservado durante a colisão.

Considere a massa da bala m = 5,00   g e suponha que o valor encontrado no item (a) para o momento de inércia do conjunto barra-esfera tenha sido I B E = 0,0400   k g   m 2 .

c) Calcule a velocidade escalar v que a bala possuía imediatamente antes do impacto sabendo que, imediatamente após o impacto, o sistema barra-esfera-bala gira ao redor de A com velocidade angular final ω F = 11,0   r a d / s .

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Um garoto de 25   k g está em pé a 2   m do centro de um carrossel que tem um momento de inércia de 200   k g . m 2 . O garoto e o carrossel estão ambos inicialmente parados. Num determinado momento, o garoto começa a correr em círculo, com velocidade de 0,6   m / s , em relação ao solo.

(a) Calcule a velocidade angular (módulo, direção e sentido) do carrossel.

(b) Calcule a velocidade do garoto em relação à superfície do carrossel.

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Questão discursiva.

Uma criança, com massa de 20   k g , corre em direção a um carrossel, de raio igual a 1,5   m e momento de inércia igual a 555   k g ∙ m 2 , que pode girar em torno de um eixo sem atrito.

A criança se aproxima com velocidade constante de módulo igual a 4   m / s tangencialmente ao carrossel, que está inicialmente em repouso.

  1. Determine o módulo do momento angular l da criança em relação ao eixo do carrossel, antes dessa pular sobre o carrossel. Considere a criança como uma partícula.
  2. A criança, então, pula e se agarra à lateral do carrossel e o sistema carrossel-criança passa a girar em conjunto com a mesma velocidade angular. Nesta situação, calcule:

  3. o momento de inércia I do sistema criança-carrossel;
  4. o módulo da velocidade angular e o sentido de rotação do sistema criança-carrossel.

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Uma esfera homogênea de massa M e raio R está conectada sem atrito a um eixo vertical passando no seu centro. A esfera está inicialmente em repouso com um besouro de massa M / 100 parado na sua linha equatorial. Num dado instante o besouro começa a se mover ao longo da linha equatorial com velocidade de módulo constante v .

(a) Sabendo que existe atrito entre a esfera e o besouro, o momento angular total do sistema ‘esfera + besouro’ ´e conservado? Justifique.

(b) Calcule o momento de inércia do sistema ‘esfera + besouro’ em relação ao eixo mencionado. Dado: Momento de inércia de uma esfera homogênea de massa M e raio R ao redor de um eixo passando no seu centro: 2 M R 2 / 5   .

(c) Calcule a velocidade angular que a esfera adquire quando o besouro se movimenta.

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Um disco de massa M e raio R está girando com uma velocidade angular ω 0 preso a uma haste que fura o disco através do eixo perpendicular passando pelo seu centro. Um segundo disco com massa três vezes maior que o primeiro e de mesmo raio, inicialmente em repouso, é acoplado à mesma haste de modo que o conjunto passa a girar com uma mesma velocidade angular, como mostra a figura ao lado. Dados: O momento de inércia do disco uniforme em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é I C M = M R 2 2 ; o momento de inércia da haste é desprezível.

(a) Determine a velocidade angular ω do sistema composto pelos dois discos em termos da velocidade angular ω 0 .

(b) Que percentagem da energia cinética de rotação inicial é perdida devido à adição do segundo disco? Para determinar a percentagem de energia perdida utilizar a expressão K i - K f K i . 100 % onde K i e K f as energias cinéticas inicial e final respectivamente.

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A figura mostra uma haste de massa M   =   3   k g e comprimento H   =   4   m disposta verticalmente, e que se encontra inicialmente em repouso. A haste está pivotada na extremidade superior (ponto O ) em torno da qual pode girar sem atrito. A haste é atingida a uma distância d   =   3   m do ponto O (conforme figura) por uma massa de modelar de massa m   =   1   k g que se desloca horizontalmente para a direita com velocidade escalar v no momento da colisão. Após a colisão, a massa de modelar permanece grudada na haste. O momento de inércia da haste em relação ao seu centro de massa é I C M   = 1 12 M L 2