Enunciado

79. Em uma competição rural, uma mola lança uma bola com velocidade de 3,0   m / s a partir de um canto de uma mesa plana e regular inclinada 20° acima da horizontal. Para vencer, o jogador deve fazer com que a bola atinja um pequeno alvo situado no canto adjacente da tábua, a 2,50   m de distância. Em que ângulo " com a horizontal o jogador deve posicionar a mola lançadora?

Passo 1

E aí senhores! Aqui vamos nós de novo!

Essa é uma clássica questão sobre lançamentos!

E pra resolver esse tipo de questão, já sabe né?

Primeiro bora fazer um esboço pra ajudar a entender melhor o nosso problema...

Aqui está nosso belo desenho;

Passo 2

Bom! Tomando ( 0 ) como o instante inicial do movimento da bola, as suas componentes de velocidade nesse momento são dadas por...

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ

v 0 y = v 0 sen ⁡ θ

Passo 3

Sendo assim, pra facilitar a nossa resolução, bora dividir o movimento da bolinha em duas partes, vertical e horizontal...

Na horizontal, em x , nossa bola não tem aceleração influenciando seu movimento. Sendo assim, ela executa um movimento uniforme, com velocidade constante.

Olhando pra nossa figura, ficamos então com...

x 1 = x 0 + v 0 x ( t 1 - t 0 )

E substituindo os valores numéricos de cada variável;

2,5   m = 0,0   m + v 0 x ( t 1 - 0,0   s )

2,5   m = v 0 x ( t 1 )

Podemos descobrir o tempo de movimento da bola, isolando t 1 ...

t 1 = 2,5   m v 0 x

E como v 0 x = v 0 cos ⁡ θ ;

t 1 = 2,5   m v 0 x

t 1 = 2,5   m v 0 cos ⁡ θ

t 1 = 2,5   m ( 3,0   m / s ) cos ⁡ θ

t 1 = 0,833   s cos ⁡ θ

Passo 4

Indo agora pra direção vertical, temos nessa direção a presença da aceleração da gravidade para baixo influenciando o deslocamento da bolinha.

Desse modo, peguemos a equação abaixo para o movimento uniformemente variado... É claro, usando as variáveis da nossa figura, né!?

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 + 1 2 a y ( t 1 - t 0 ) 2

Esse a y é a componente da nossa nossa aceleração da gravidade, com sentido negativo, uma vez que aponta para baixo e segundo a figura que desenhamos, dada por ( g sen ⁡ 20 ° ) .

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - 1 2 g sen ⁡ 20 ° ( t 1 - t 0 ) 2

Desse modo, substituindo os valores conhecidos...

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - 1 2 g sen ⁡ 20 ° ( t 1 - t 0 ) 2

0,0   m = 0,0   m + v 0 sen ⁡ θ 0,833   s cos ⁡ θ - 1 2 g sen ⁡ 20 ° 0,833   s cos ⁡ θ 2

v 0 sen ⁡ θ 0,833   s cos ⁡ θ = 1 2 g sen ⁡ 20 ° 0,833   s cos ⁡ θ 2

v 0 0,833 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 2 g sen ⁡ 20 ° 0,6944 cos 2 ⁡ θ

E cortando cos ⁡ θ dos dois lados no denominador...

v 0 0,833 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 2 g sen ⁡ 20 ° 0,6944 cos 2 ⁡ θ

v 0 0,833 sen ⁡ θ = 1 2 g sen ⁡ 20 ° 0,6944 cos ⁡ θ

v 0 0,833 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 0,6944 2 g sen ⁡ 20 °

0,833 v 0 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 0,6944 g sen ⁡ 20 °

0,8333 v 0 sen ⁡ 2 θ = 0,6944 g sen ⁡ 20 °

sen ⁡ 2 θ = 0,6944 g sen ⁡ 20 ° 0,8333 v 0

2 θ = sen - 1 ⁡ 0,6944 g sen ⁡ 20 ° 0,8333 v 0

Ficamos com a relação acima... Onde substituindo os valores pertencentes a cada variável;

2 θ = sen - 1 ⁡ 0,6944 g sen ⁡ 20 ° 0,8333 v 0

2 θ = sen - 1 ⁡ 0,6944 ⋅ 9,81   m / s ² ⋅ sen ⁡ 20 ° 0,8333 ⋅ 3,0   m / s

2 θ = sen - 1 ⁡ 0,6944 ⋅ 9,81   m / s ² ⋅ sen ⁡ 20 ° 0,8333 ⋅ 3,0   m / s

2 θ = 68,74 °

θ = 68,74 ° 2

θ = 34,37 °

Finalmente obtemos o valor do nosso ângulo de lançamento.

Resposta

θ = 34,37 °

Resposta

x = - 30   m

O   s u b m a r i n o   d e v e   e s t a r   n a   e x t r e m i d a d e   o e s t e

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