Enunciado

47- Um condutor cilíndrico com seção circular de raio a e resistividade ρ conduz uma corrente constante I .

( a ) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor E → em um ponto imediatamente abaixo da superfície do fio situado a uma distância a do eixo central.

( b ) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor B → nesse mesmo ponto.

( c ) Calcule o módulo, a direção e o sentido o vetor de Poynting S → nesse mesmo ponto. (O sentido de S → indica o sentido em que a energia eletromagnética flui para o interior ou para o exterior do condutor.)

( d ) Use o resultado do item ( c ) para calcular a taxa de escoamento de energia para o interior do volume ocupado por um comprimento l do condutor. (Sugestão: integra S → sobre a superfície do volume considerado.) Compare o resultado a taxa da geração de energia térmica do mesmo volume. Explique por que a energia dissipada na resistência de um condutor que conduz uma corrente pode ser interpretada em termos de uma energia que penetra no solenoide através de suas paredes cilíndricas.

Passo 1

O campo elétrico E com o valor da resistividade do fio será calculado por:

E = ρ J

Onde J = I / A   então:

E = ρ I A = ρ I π a 2

Pois a é o raio do fio. E ela é uniforme durante todo o raio do fio e tem direção no mesmo sentido que a corrente.

Passo 2

A questão não diz se esse fio tem a corrente entrando ou saindo da página né hahaha (isso considerando também a área da seção transversal do fio no plano da página), então vamos considerar aqui a corrente saindo da página o que pela regra da mão direita nos dá um vetor do campo magnético igual ao que está desenhado abaixo.

Onde todos os vetores tem intensidade B e valem pela Lei de Ampere:

∮ B → . d l → = μ 0 I

B ⋅ 2 π a = μ 0 I

B = μ 0 I 2 π a

E como o ponto de interesse está abaixo do eixo central então o sentido desse vetor é apontando para a esquerda, caso a corrente esteja entrando no papel, o sentido será para a direita.

Passo 3

O módulo desse vetor será dado por:

S = 1 μ 0 E B = 1 μ 0   ρ I π a 2   μ 0 I 2 π a = ρ I 2 2 π 2 a 3

E considerando ainda que o vetor S é dado por:

S → = 1 μ 0   E → × B →

E pela regra da mão direita para ondas eletromagnéticas (que é meio difícil explicar por palavras) nós temos que o sentido desse vetor é sempre apontando para dentro do fio de forma que temos.

E se mudarmos a direção da corrente, tanto a direção do campo elétrico quanto do campo magnético irão inverter, nos dando uma mesma direção do vetor S de apontar para o centro do fio.

Passo 4

Só de ler essa letra d já dá uma canseira mas calma, o que ele quer é que calculemos a taxa de escoamento de energia do fio (o que é a potência) e a potência pode ser calculada pela intensidade.

S = P A → P = S A = ρ I 2 2 π 2 a 3 × 2 π a

P = ρ I 2 π a 2

Onde a área por assim dizer, será o comprimento do círculo de raio a (pois é a nossa região de interesse).

Pois essa intensidade é a intensidade dentro de uma área circular, agora integrando essa região para um comprimento l de fio nós iremos obter:

P = ρ I 2 l π a 2

Só que a resistência de um fio cilíndrico de raio a e comprimento l é dado por R = ρ l / π a 2 , então:

P = R I 2

Resposta

a ) E = ρ I π a 2 ; s e n t i d o   d a   c o r r e n t e

b ) B = μ 0 I 2 π a ; c o r r e n t e   e n t r a n d o : → - c o r r e n t e   s a i n d o ←

c ) S = ρ I 2 2 π 2 a 3 ;     a p o n t a n d o   p a r a   o   c e n t r o   d o   f i o   i n d e n d e n t e   d a   d i r e ç ã o   d a   c o r r e n t e

c )   P = R I 2 ; p a s s o   4

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