Enunciado

Considere um átomo de hidrogênio no estado 1 s . a) Em que valor de r a energia potencial U ( r ) torna-se igual à energia total E ? Expresse sua resposta em termos de a .Esse valor de r é chamado de ponto de inversão clássico, porque nesse ponto uma partícula newtoniana para momentaneamente e inverte seu sentido. b) Para um valor de r maior do que o valor do ponto de inversão classifco, U r > E . Classicamente, a partícula não pode estar nessa região, porque a energia cinética não pode ser negativa. Calcule a probabilidade de o elétron ser encontrado nessa região proibida pela física clássica.

Passo 1

a) Os níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por:

E n = - 13,60   e V n 2 = - 1 4 π ϵ 0 2 m r e 4 2 n 2 ℏ 2

Para o caso da camada 1 s :

E 1 = - 1 4 π ϵ 0 2 m r e 4 2 ( 1 ) 2 ℏ 2

E o potencial eletrostático sobre o elétron devido ao núcleo é:

U r = 1 4 π ϵ 0 q q 0 r

Como a carga do elétron é q 0 = - e e a carga do núcleo é q = Z e , onde Z é o número atômico, no caso do hidrogênio, Z = 1 , a equação pode ser escrita como:

U r = - 1 4 π ϵ 0 e 2 r

Igualamos a energia e o potencial para encontrarmos o valor de r onde ocorre a inversão clássica:

E 1 = U ( r )

- 1 4 π ϵ 0 2 m r e 4 2 ℏ 2 = - 1 4 π ϵ 0 e 2 r

Isolando r :

r = 4 π ϵ 0 2 2 ℏ 2 e 2 4 π ϵ 0 m r e 4

Simplificando:

r = 2 4 π ϵ 0 ℏ 2 m r e 2

Mas

4 π ϵ 0 ℏ 2 m r e 2

É o valor do raio de Bohr a , então:

r = 2 a

Passo 2

b) A probabilidade de encontrarmos o elétron nessa região é dada pela integral da densidade de probabilidade no espaço de 2 a ≤ r < ∞ :

P r > 2 a = ∫ 2 a ∞ ψ 1 s r 2 d V

Em coordenadas esféricas, o diferencial de volume é dado por:

d V = 4 π r 2 d r

E a função de onda para a camada 1s:

ψ 1 s r = 1 π a 3 e - r a

A integral então é:

P r > 2 a = 4 π π a 3 ∫ 2 a ∞ r 2 e - 2 r a d r = - 4 a 3 - e - 2 r a a r 2 2 + a 2 r 2 + a 3 4 ∞ 2 a

Aplicando os limites de integração:

P r > 2 a = 4 a 3 e - 4 2 a 3 + a 3 + a 3 4

P r > 2 a = 4 e - 4 13 4 = 13 e - 4

P r > 2 a = 0,238 = 23,8 %

A probabilidade de encontrarmos o elétron na região classicamente proibida é de 23,8 % . (LEMBRANDO: isso não significa que a energia do elétron é negativa para esse caso, mas sim que o modelo clássico não é suficiente para descrever fenômenos quânticos.)

Resposta

a )   r = 2 a

b ) P r > 2 a = 23,8 %

Ver Outros Exercícios desse livro