Enunciado

Considere o caso em que um elétron e - e um pósitron e + se aniquilam u ao outro e produzem fótons. Suponha que essas duas partículas colidam frontalmente com velocidades iguais, mas lentas. a) Mostre que não possível que apenas um fóton seja produzido. (Sugestão considere a lei de conservação que deve ser obedecida em qualquer colisão.) b) Mostre que, se dois fótons são produzidos, eles devem se deslocar em sentidos opostos e ter energia igual. c) Calcule o comprimento de onda de cada um dos fótons na parte (b). Em que parte do espectro eletromagnético eles se situam?

Passo 1

a) Como o pósitron e o elétron colidem com velocidades iguais e direções opostas, o momento inicial do sistema deve ser zero. E pela conservação do momento, só é possível que o momento final seja zero também, se existirem duas partículas com velocidades iguais e sentidos opostos após a colisão. Como o processo é uma aniquilação, essas partículas só podem ser fótons com o mesmo comprimento de onda.

Passo 2

b) Na letra (a) já respondemos, para que o momento final seja zero, o momento de cada fóton deve ser igual em magnitude, mas com sentidos opostos, e como a energia de um fóton é dada por:

E = p c

Se as magnitudes dos momentos são iguais, as energias também serão.

Passo 3

c) Podemos usar a equação de massa-energia para o pósitron e o para o elétron:

E e = m e c 2

Como toda a massa do elétron e do pósitron se transformaram em energia dos fótons então:

E f ó t o n = m e c 2

E pela equação de energia do fóton:

E f ó t o n = p c = h c λ

Substituindo:

h c λ = m e c 2

Isolando λ :

λ = h m e c

Substituindo os valores:

λ = 6,63 × 10 - 34   J ⋅ s 9,11 × 10 - 31   k g 3,0 × 10 8   m / s

λ = 2,43   p m

Esse comprimento está na região de raios gama do espectro eletromagnético.

Resposta

c )   2,43   p m

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