Enunciado

72. Pesquisa de planetas existentes fora do nosso sistema solar. A agência espacial norte-americana NASA está desenvolvendo um projeto chamado Planet Imager (gerador de imagens de um planeta) que permitiria a um astronauta ver detalhes de planetas que estão em órbita ao redor de outras estrelas. Seguindo o mesmo princípio adotado no Very Large Array (veja o final da Seção 36 . 7 ), o Planet Imager usará uma rede de telescópios infravermelhos espalhados ao longo de milhares de quilômetros no espaço. (A luz visível permitiria melhor resolução. Infelizmente, em comprimentos de onda visíveis, as estrelas são tão brilhantes que não é possível observá-las devido ao efeito de ofuscamento. Com à infravermelho, esse problema diminui.) a ) Supondo um diâmetro de 6000   k m para o Planet Imager e que a observação seja feita com radiação infravermelha de comprimento de onda igual a 10   μ m , qual é a maior distância para que se possa observar detalhes de 250   k m de extensão (um tamanho correspondente à área da grande Los Angeles) sobre um planeta? Dê sua resposta em anos-luz (veja o Apêndice E ). (Sugestão: use o critério de Rayleigh.) b ) Para comparar, considere a resolução de um único telescópio infravermelho no espaço, com um diâmetro de 1,0   m e utilizando radiação infravermelha de comprimento de onda igual à 10   μ m . Qual é o menor detalhe que esse telescópio pode distinguir para pesquisar um planeta orbitando a estrela mais próxima do Sol, a Proxima Centauri, que está a uma distância da Terra de 4,22   a n o s - l u z ? Como esse valor se compara com o diâmetro da Terra ( 1,27 ⋅ 10 4   k m ) ? E com a distância média entre a Terra e o Sol ( 1,50 ⋅ 10 8   k m )? Um único telescópio desse tipo seria capaz de detectar a presença de um planeta como a Terra, em uma órbita de tamanho semelhante à da Terra, em torno de qualquer outra estrela? Explique. c ) Suponha que o Planet Imager seja usado para observar um planeta em órbita em tomo da 70 Virginis, uma estrela situada a uma distância da Terra de 59   a n o s - l u z . Um planeta (embora não parecido com a Terra) girando em tomo dessa estrela foi de fato detectado não pela observação direta da imagem, e sim pela medida da ‘ondulação’ produzida pelo movimento do conjunto da estrela e do planeta em tomo do centro de massa comum do sistema. Qual é o tamanho do menor detalhe que o Planet Imager poderia distinguir sobre o planeta da estrela 70 Virginis? Como esse resultado se compara com o diâmetro de Júpiter ( 1 , 38 ⋅ 10 5   k m ) ? (Embora se acredite que o planeta da estrela 70 Virginis tenha uma massa 6,6 vezes maior do que a massa de Júpiter, seu raio provavelmente seria aproximadamente igual ao de Júpiter. Isso acontece porque planetas desse tipo devem conter muita matéria sob forma gasosa e não matéria sólida, de modo que esses gases podem ser comprimidos pela própria atração gravitacional

das diferentes partes do planeta.)

Passo 1

Nossa! Bem grande esse enunciado, mas a maioria dele é só de curiosidades, poucas coisas nos interessam.

Esse casso do Planet Imager pode ser comparado com a situação de uma difração por abertura circular, então podemos usar a seguinte equação para encontrar o que os itens querem, temos:

sen ⁡ θ = 1,22 λ D

Mas onde vamos encontrar os parâmetros pedidos nos itens? Então, vai ser a partir do seno e lembrando que o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.

No nosso caso o cateto oposto vai ser os menores detalhes distinguidos ( Δ x ) e a hipotenusa a distância entre os objetos de estudo ( R ) .

Então temos que:

sen ⁡ θ = Δ x R

⇒ Δ x R = 1,22 λ D

Agora vamos analisar cada item e encontrar o que é pedido.

Uma coisa que vai ser útil para nós é a seguinte relação:

1   a n o - l u z = 9,4 6 ⋅ 10 1 5   m

Passo 2

Vamos lá, vamos começar com o item ( a ) .

Esse item quer saber a maior distância entre o Planet Imager e um planeta onde tenhamos os menores detalhes de 250   k m no máximo, então usando a expressão que chegamos no passo 1 , temos que descobrir o R .

Temos o seguinte:

Δ x R = 1,22 λ D

⇒ R = Δ x D 1,22 λ

Agora substituindo os valores que conhecemos em metros, temos:

R = 250 ⋅ 10 3 ( 6000 ⋅ 10 3 ) 1,22 ( 10 ⋅ 10 - 6 )

= 1500000 ⋅ 10 6 12,2 ⋅ 10 - 6

Então temos que:

R = 1,23 ⋅ 10 17   m

Passando isso para anos – luz temos que:

R = 13   a n o s - l u z

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Esse item quer saber o menor detalhe que um único telescópio consegue distinguir em um planeta orbitando a estrela mais próxima do Sol, etão usando a expressão do passo 1 , temos que descobrir Δ x .

Temos o seguinte:

Δ x R = 1,22 λ D

⇒ Δ x = 1,22 λ D R

Só que agora teremos D = 1   m e R = 4,22   a n o s - l u z = 39,92 ⋅ 10 15   m .

O item também pede para compararmos o resultado que encontramos com o diâmetro da Terra e com a distância entre a Terra e o Sol. E pergunta se conseguiríamos detectar um planeta semelhante a Terra orbitando ao redor de alguma estrela com apenas esse telescópio.

Vamos aos cálculos, substituindo o que sabemos na equação mais acima, temos:

Δ x = 1,22 ( 10 ⋅ 10 - 6 ) 1 ( 39,92 ⋅ 10 15 )

⇒ Δ x = 4,87 ⋅ 10 11   m

= 4,87 ⋅ 10 8   k m

Comparando esse resultado com o diâmetro da Terra ( 1,27 ⋅ 10 4   k m ) , podemos ver que o Δ x que encontramos é bem dizer 10000 vezes maior que o diâmetro da Terra.

Logo não é possível observar planetas como a Terra em outras estrelas pois a nossa melhor resolução é muito maior que a Terra.

Comparando esse resultado que encontrarmos para Δ x com a distância entre a Terra e o Sol ( 1,50 ⋅ 10 8   k m ), vemos que ele é basicamente 3 vezes maior que essa distância.

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Esse item quer saber o menor detalhe que o Planet Imager consegue distinguir em um planeta orbitando a estrela 70 Virgins, então usando a expressão do passo 1 , temos que descobrir Δ x .

Temos o seguinte:

Δ x R = 1,22 λ D

⇒ Δ x = 1,22 λ D R

Só que agora teremos D = 6000 ⋅ 10 3   m e R = 59   a n o s - l u z = 5,58 ⋅ 10 1 7   m .

O item também pede para compararmos o resultado que encontramos com o diâmetro de Júpiter ( 1 , 38 ⋅ 10 5   k m ) .

Vamos aos cálculos, substituindo o que sabemos na equação mais acima, temos:

Δ x = 1,22 ( 10 ⋅ 10 - 6 ) 6000 ⋅ 10 3 ( 5,58 ⋅ 10 17 )

= 68,08 ⋅ 10 11 6000 ⋅ 10 3

Então temos que:

Δ x = 1,13 ⋅ 10 6   m

= 1 , 13 ⋅ 10 3   k m

Comparando com o diâmetro de Júpiter vemos que Δ x é aproximadamente 100 vezes menor que o diâmetro de Júpiter.

Resposta

( a )

R = 13   a n o s - l u z

( b )

Δ x = 4,87 ⋅ 10 8   k m

Temos que o Δ x encontrado é bem dizer 10000 vezes maior que o diâmetro da Terra.

Não é possível observar planetas como a Terra em outras estrelas pois a nossa melhor resolução é muito maior que a Terra.

Temos que Δ x é basicamente 3 vezes maior que a distância entre a Terra e o Sol.

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →