Considere um solenoide de comprimento e raio a contendo N voltas próximas entre si e transportando uma corrente contínua I. (a) Quanto a esses parâmetros, encontre o campo magnético em um ponto ao longo do eixo do solenoide como uma função da posição x em relação à extremidade do solenoide. (b) Demonstre que se muito longo, B se aproxima de m0 NI/2 em cada extremidade do solenoide.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Então vamos resolver essa questão bem legal aqui e passo a passo pra gente tirar 10 na provinha!

Vamo lá!

Letra a:

Seja o solenóide ao longo do eixo y de y = - l a y = 0 . Vamos determinar o campo na posição y = x : este ponto será dentro do solenóide se - l < x < 0 e fora se x < - l  ou  x > 0 . Nós pensamos no solenóide como formado por anéis, cada um com a espessura dy. Agora I é a corrente em cada volta do fio e o número de voltas por comprimento é N l . Portanto, o número de voltas no anel é N l d y e a corrente no anel é I anel  = I N l d y .

Agora, para o campo criado por um anel:

B anel  = μ 0 I anel a 2 2 ( x - y ) 2 + a 2 3 2

Onde x - y é a distância do centro do anel, no local y, para o ponto do campo (observe que y é negativo, então x - y = x + | y | ). Cada anel cria um campo na mesma direção, ao longo do eixo y, então todo o campo do solenóide é:

B = ∑ todos os anéis   B anel  = ∑ μ 0 I a n e l a 2 2 ( x - y ) 2 + a 2 3 2 → ∫ - l 0   μ 0 I N l a 2 d y 2 ( x - y ) 2 + a 2 3 2 = μ 0 I N a 2 2 l ∫ - l 0   d y ( x - y ) 2 + a 2 3 2

Integrando, fazemos u = x - y → d y = - d u , então,

B = - μ 0 I N a 2 2 l ∫ x + l x   d u u 2 + a 2 3 2

B = - μ 0 I N a 2 2 l u a 2 u 2 + a 2 x + l x = - μ 0 I N 2 l x x 2 + a 2 - x + l ( x + l ) 2 + a 2

= μ 0 I N 2 l x + l ( x + l ) 2 + a 2 - x x 2 + a 2

Passo 2

Letra b:

Se l for muito maior do que a e x = 0, temos:

B ≅ μ 0 I N 2 l l l 2 + 0 = μ 0 I N 2 l

Isso é apenas metade da magnitude do campo nas profundezas do solenóide. Obteríamos o mesmo resultado substituindo x = −l para descrever a outra extremidade.

Resposta

  1. μ 0 I N 2 l x + l ( x + l ) 2 + a 2 - x x 2 + a 2
  2. V e r   r e s p o s t a
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