Enunciado

A constante solar, quantidade de energia solar que chega à Terra por unidade de tempo e área, acima da atmosfera e para um elemento de área perpendcular à direção dos raios solares, é de 1,36   k W / m 2 . Para um elemento de área cuja normal faz um ângulo θ com a direção dos raios solares, o fluxo de energia varia com cos ⁡ θ . (a) Calcule a quantidade total de energia solar que chega à Terra por dia. Sugestão: Para um elemento de superfície d S , leve em conta a interpretação de d S cos ⁡ θ como projeção sobre um plano (Capítulo 1, problema 8). (b) Sabe-se que ≈ 23 % da energia solar incidente sobre a água vão produzir evaporação. O calor latente de vaporização da água à temperatura ambiente (quantidade de calor necessária para vaporizá-la por unidade de massa) é 590   c a l / g . Sabendo que ≈ 71 % da superfície da Terra são cobertos por oceanos, calcule a profundidade da camada de água dos oceanos que seria evaporada por dia pela energia solar que chega à Terra.

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho da situação:

A potência que chega até uma pequena área d S é a seguinte:

d P = F → ∙ n ^   d S

Onde F → é a constante solar que foi dada no enunciado. Para encontrar a potência total só precisamos integrar essa equação ao longo da superfície:

P = ∬ F → ∙ n ^   d S

Passo 2

Vamos calcular esse produto interno. Podemos escrever F → da seguinte forma:

F → = - F   j ^

Quando estamos em x = 0 (e φ = π / 2 ), a situação é:

E então, como n ^ é um vetor unitário, o produto interno é:

F → ∙ n ^ = F cos ⁡ 90 ° - θ = F sen ⁡ θ

Quando saímos do plano x = 0 , só precisamos adicionar o sen ⁡ φ para corrigir a diferença:

F → ∙ n ^ = F sen ⁡ θ sen ⁡ φ

E a área d S em coordenadas esféricas segue a mesma fórmula de sempre:

d S = r 2 sen ⁡ θ   d θ   d φ

Então nossa integral é:

P = ∬ F sen ⁡ θ sen ⁡ φ   r 2 sen ⁡ θ   d θ   d φ

O ângulo θ varia de 0 até π (indo do pólo norte ao pólo sul), e o ângulo φ também varia de 0 até π , já que só precisamos cobrir a metade do planeta que está iluminada pelo sol, então:

P = ∫ 0 π ∫ 0 π F   r 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ φ d θ   d φ

Agora podemos resolver a integral.

Passo 3

Vamos começar tirando as constantes da integral:

P = F   r 2 ∫ 0 π ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ sen ⁡ φ d θ   d φ

E podemos separar isso em duas integrais:

P = F   r 2 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ   d θ ∫ 0 π sen ⁡ φ d φ

Vamos resolver essas duas integrais separadamente. Começando pela integral da esquerda:

I 1 = ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2   d θ = 1 2 θ - 1 2 sen ⁡ 2 θ π 0  

I 1 = 1 2 π - 1 2 sen ⁡ 2 π - 1 2 0 - 1 2 sen ⁡ 0 = 1 2 π

E para a integral da direita:

I 2 = ∫ 0 π sen ⁡ φ d φ = - cos ⁡ φ π 0 = 2

Então:

P = F   r 2 π 2 2 = π F r 2

Passo 4

Se essa é a potência recebida pela superfície da Terra, então ao longo de um dia, a energia total é:

E = P Δ t

Onde Δ t é a duração de um dia em segundos, então:

E = π F r 2   24 60 60

Substituindo o valor que foi dado no enunciado para F e usando 6,371 × 10 6   m para o raio da Terra:

E = π 1360 6,371 × 10 6 2 24 60 60

E = 1,50 × 10 22   J / d i a

Passo 5

(b) O enunciado diz que aproximadamente 71 % dessa energia vão incidir sobre a água, e disso só 23 % vão produzir evaporação, então:

E e v a p = 0,71 0,23   E

E e v a p = 0,71 0,23 1,50 × 10 22 = 2 , 44 × 10 21   J / d i a

E se o calor latente de vaporização da água é 590 calorias por grama, então a quantidade de água evaporada por dia é:

m = E e v a p 590   c a l / g

Mas precisamos converter esse calor latente para joules por grama (multiplicando cada caloria por 4,2 ):

m = 2 , 44 × 10 21 590   4,2 = 9,87 × 10 17   g = 9,87 × 10 1 4   k g

E já que a densidade da água é ρ = 10 3   k g / m 3 , isso corresponde ao seguinte volume de água:

V = m ρ = 9,87 × 10 14 10 3 = 9,87 × 10 1 1   m 3

Passo 6

Agora queremos saber qual a profundidade da camada de água que evapora.

Já que 71 % da superfície está coberta por água, então a área coberta é:

A = 0,71 4 π r 2

Então o volume ocupado por uma camada de água de altura h é:

V = 0,71 4 π r 2 h

Portanto, para o volume de 9,87 × 10 11   m 3 que nós calculamos:

9,87 × 10 11 = 0,71 4 π 6,371 × 10 6 2 h

h = 9,87 × 10 11 0,71 4 π 6,371 × 10 6 2 ≈ 2,7   c m

Essa é a profundidade da camada evaporada a cada dia.

Resposta

(a) E = 1,50 × 10 22 J / d i a .

(b) h = 2,7   c m .

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