Enunciado

Para construir uma escultura móvel, um artista pendura uma esfera de alumínio de 6,0   k g   de massa presa a um fio de aço da 0,50   m de comprimento com área da seção reta igual a 2,5 × 10 - 3   c m . À parte inferior da esfera ele prende outro fio de aço semelhante, na extremidade do qual ele pendura um cubo de bronze de massa igual a 10,0   k g . Para cada fio, calcule a) tensão de dilatação; b) o alongamento.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a tensão de dilatação em cada fio e o alongamento provocado pelas tensões nos fios.

Pra isso, vamos usar a fórmula do módulo de Young, que é dada pelo quociente entre a tensão de dilatação e a deformação de dilatação, ou seja:

Y = t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o   d e f o r m a ç ã o   d e   d i l a t a ç ã o = l 0 F ⊥ A ∆ l

Onde l 0 é o comprimento original, F ⊥ é a força aplicada, A é a área da seção transversão e Δ l é a variação do comprimento.

Então, vamos construir um diagrama de corpo livre do nosso sistema e calcular as tensões aplicadas nele. Depois, vamos substituir os dados fornecidos pelo enunciado na fórmula do módulo de Yong e calcular as variáveis pedidas.

Vamos lá!

Passo 2

Precisamos usar a primeira condição de equilíbrio para calcular as tensões T 1 e T 2 e o alongamento de cada fio:

Agora vamos esboçar um diagrama de corpo livre apenas da massa m 2 e usar a equação do equilíbrio de forças nela:

Somando as forças verticais, temos:

∑ F y = m a y

T 2 - m 2 g = 0

E encontramos uma das tensões:

T 2 = 98 N

Passo 3

Fazendo o mesmo para m 1 :

E somando as forças verticais:

∑ F y = m a y

T 2 - T 2 - m 1 g = 0

T 1 = T 2 + m 1 g

Obtemos o valor da outra tensão no fio:

T 1 = 98 N + 58,8 N

T 1 = 157 N

Passo 4

Agora, calcularemos a tensão de dilatação no fio usando a fórmula do módulo de Yong:

Y = t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o   d e f o r m a ç ã o   d e   d i l a t a ç ã o

Então,

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = d e f o r m a ç ã o   d e   d i l a t a ç ã o Y = F ⊥ A Y

Para o fio superior, vamos ter:

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = T 1 A Y

E substituindo os valores dados, temos:

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = 157 N 2,5 × 10 - 7 m 2 ⋅ 2 × 10 11 P a  

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = 3,1 × 10 - 3

Agora para o fio inferior, vamos fazer a mesma coisa, substituindo os valores do enunciado:

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = T 2 A Y

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = 98 N 2,5 × 10 - 7 m 2 ⋅ 2 × 10 11 P a  

E obtemos:

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = 2 × 10 - 3

Passo 5

Na letra (b), calcularemos o alongamento Δ l usando a relação:

t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = ∆ l l 0

Então,

∆ l = l 0 ⋅ t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o

Sendo assim, usando o valor encontrado no passo anterior, vamos ter para o fio inferior:

∆ l = 0,50 m ⋅ 3,1 × 10 - 3

∆ l = 1,6 m × 10 - 3 m

∆ l = 1,6 m m

E para o fio superior:

∆ l = 0,50 m ⋅ 2 × 10 - 3

∆ l = 1 m × 10 - 3 m

∆ l = 1 m m

Isso significa que a tensão é maior no fio superior, porque ele deve suportar os dois objetos. Os fios têm o mesmo comprimento e diâmetro, então aquele com maior tensão tem maior tensão e alongamento.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) Para o fio superior: t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = 3,1 × 10 - 3

Para o fio inferior:   t e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = 2 × 10 - 3

b) Para o fio superior: ∆ l = 1,6 m m

Para o fio inferior: ∆ l = 1 m m

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