Enunciado

Uma corda de 1,5 0   m e peso 0 , 01 25 N está amarrada ao teto pela sua extremidade superior, e a inferior sustenta um peso p . Quando a corda é puxada suavemente, as ondas que se deslocam para cima obedecem à equação

y x , t = 8,5 m m cos ⁡ ( 172 m   x - 4.830   r a d / s   t )

  1. Quanto tempo leva para um pulso percorrer toda extensão da corda?
  2. Qual é o peso p ?
  3. Quantos comprimentos de onda há sobre a corda em qualquer instante?
  4. Qual é a equação para que as ondas se deslocam para baixo na corda?

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”

Bora empurrar e macetar essa questãozinha comigo agora

  1. Vamos primeiro resgatar do problema todas as informações, ok? Começando pela equação de onda:
  2. A = 8,5 m m k = 172   r a d / m

    ω = 4830   r a d / s

    E temos também que o peso é 0.01 25 N , sendo assim sua massa é:

    m = P g = 0.01 25 9,8 = 0 , 00127 k g

    Para o ponto em questão

    A = A cos ⁡ k l - ω t

    1 = cos ⁡ k l - ω t

    0 = k l - ω t

    t = k l ω

    Então juntando tudo isso, e sabendo que a distância percorrida é justamente o comprimento total da corda, podemos determinar o tempo:

    t = 1,5 ⋅ 172 48 30 = 0,0 534 s

    Beleza! Vamos pra próxima letra?

    Passo 2

  3. Agora o problema quer saber o peso p . Bom, já sabemos que para ondas em uma corda temos uma relação entre a velocidade de onda e a força peso:
  4. v = F μ

    Como, claramente, o peso preso na extremidade inferior do fio tem mesma intensidade da tração na corda, podemos escrever da seguinte maneira

    p = F = v 2 μ

    Sabemos o peso da corda e o seu comprimento, portanto, podemos obter a densidade linear.

    Usaremos letras maiúsculas para denotarmos a massa e peso do fio

    μ = M l = P l g

    Podemos escrever a velocidade como a razão do comprimento do fio pelo tempo de propagação do pulso

    v = l t

    Substituindo tudo, temos

    p = v 2 μ

    = l t 2 P l g

    = l g t 2 P

    = 1,5   m 9,8   m / s 2 ⋅ 0,0534   s 2 0,0125   N

    = 0,67   N

    Passo 3

  5. Para saber quantos comprimentos de onda λ existem na corda, primeiro precisamos determinar quanto vale esse comprimento de onda, não é?
  6. Então, borá lá:

    λ = 2 π k = 2 π 172 = 0,0365 m

    E agora temos que a corda tem 1,5 m de comprimento, então basta dividir o tamanho total da corda pelo comprimento de onda para achar quantas ondas completas há nela:

    n = d λ = 1,5 0,0365 = 41,1

    Passo 4

  7. Para as ondas que se deslocam para baixo na corda, a única diferença vai ser o sentido da velocidade ω . O sentido positivo é quando temos – ω t , logo, o sentido negativo vai ser quando tivermos + ω t na equação de onda:

y x , t = 8,5 m m cos ⁡ ( 172 r a d / s - 1   x + 4830 r a d / s - 1 t )

“Faça seus medos terem medo de você”

Resposta

a )   0,0 5 3 4   s

b )   0,67   N

c ) 41,1

d ) y x , t = 8,5 m m cos ⁡ ( 172   r a d / s - 1     x + 48 30 r a d / s - 1 t )

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