Enunciado

Em uma corda real, parte da energia de uma onda se dissipa enquanto a onda percorre a corda. Esta situação pode ser descrita por uma função de onda cuja amplitude A ( x ) depende de x : y = A x s e n ( k x - ω t ) , onde A x = A 0 e - b x . Qual é a potência transportada pela onda, como funação de x , para x > 0 ?

Passo 1

Olá! Então, ele dá a equação de uma onda

y = A x s e n k x - ω t

Sendo que

A x = A 0 e - b x

Aí ele pede a potência P transportada pela onda em função de x . Então o que a gente quer uma função só de x que represente a potência transportada ao longo da corda.

Para fazer isso, podemos lembrar da potência média para cordas que tem a equação de onda igual a nossa y , mas com amplitude constante A :

P m é d = 1 2 μ v ω 2 A 2

Onde μ é a densidade linear da corda, v é a velocidade da onda e ω é a frequência angular. E mais importante, A é a amplitude.

Como essa é a potência média e depende da amplitude, e nós temos a amplitude em função de x , conseguimos usar essa expressão para chegar na potência que a gente quer.

Vamos!

Passo 2

Do enunciado, sabemos que A x = A 0 e - b x . Vamos substituir isso na expressão da potência média

P ( x ) = 1 2 μ v ω 2 ( A 0 e - b x ) 2

Repara que a gente não diz que essa é a potência média mais. Por que? Quando a amplitude é constante, a potência média representa um valor de potência constante.

Mas agora, para cada valor de x , temos um valor diferente de potência. Então essa deixou de ser a potência média e agora é uma potência que varia ao longo da corda (em função de x )

Rearrumando nossa expressão:

P ( x ) = 1 2 μ v ω 2 ( A 0 e - b x ) 2

P ( x ) = 1 2 μ v ω 2 A 0 2 e - 2 b x

Prontinho!

Resposta

P ( x ) = 1 2 μ v ω 2 A 0 2 e - 2 b x

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