Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

1 8 . Para um corpo em movimento retilíneo, cuja aceleração é dada por a = 32 - 4 v (as condições iniciais são x = 0 e v = 4 para t = 0 ), obtenha v como função de t ,   x como função de t e x como função de v .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para esse problema temos que lembrar das seguintes relações:

a = d v d t

E

v = d x d t

A partir disso, das condições iniciais e de alguns artifícios para resolver as equações que vamos encontrar, a gente consegue encarar essa questão. Vem junto comigo!

Passo 2

Primeiro vamos analisar a equação da aceleração que o enunciado nos deu, temos:

a = 32 - 4 v

Usando a relação entre aceleração e velocidade que vimos no passo 1 , temos:

d v d t = 32 - 4 v

⇒ d v d t = - 4 ( v - 8 )

Jogando o d t para o outro lado e isolando tudo que tem v do outro, isso é um método para resolver equações desse tipo, temos:

d v v - 8 = - 4 d t

Agora podemos integrar dos dois lados, assim:

∫ d v v - 8 = ∫ - 4 d t

⇒ ln ⁡ ( v - 8 ) = - 4 t + c

Aplicando exponencial dos dois lados para a gente sumir com o l n , ficamos com:

v - 8 = e - 4 t + c

⇒ v = e c e - 4 t + 8

⇒ v = c e - 4 t + 8

Passo 3

Agora aplicando a condição inicial de que em t = 0 temos v = 4 , teremos:

4 = c e - 4 ( 0 ) + 8

⇒ c = - 4

Então nossa função para v fica da seguinte forma:

v = - 4 e - 4 t + 8

Passo 4

Agora como temos a expressão para v , podemos usar a relação entre a velocidade v e a posição x para encontramos x como função de t , temos então:

d x d t = - 4 e - 4 t + 8

Vamos jogar o d t para o outro lado, assim:

d x = ( - 4 e - 4 t + 8 ) d t

Integrando os dois lados, temos:

∫ d x = ∫ ( - 4 e - 4 t + 8 ) d t

⇒ x = e - 4 t + 8 t + c

Usando que para t = 0 teremos x = 0 , ficamos com:

0 = e - 4 ( 0 ) + 8 0 + c

⇒ c = - 1

Então nossa função para x fica da seguinte forma:

x = e - 4 t + 8 t - 1

Passo 5

Agora para encontrarmos x em função de v , vamos usar o que encontramos no passo 3 , temos:

v = - 4 e - 4 t + 8

Vamos isolar t , assim:

4 e - 4 t = 8 - v

⇒ e - 4 t = 2 - v 4

Aplicando l n nos dois lados, temos:

- 4 t = ln ⁡ 2 - v 4

⇒ t = - 1 4 ln ⁡ 2 - v 4

Agora vamos substituir isso na função que encontramos para x , assim:

x = e - 4 - 1 4 ln ⁡ 2 - v 4 + 8 - 1 4 ln ⁡ 2 - v 4 - 1

⇒ x = e ln ⁡ 2 - v 4 - 2 ln ⁡ 2 - v 4 - 1

⇒ x = 2 - v 4 - 2 ln ⁡ 2 - v 4 - 1

Então temos que:

x = 1 - v 4 - 2 ln ⁡ 2 - v 4

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

v = - 4 e - 4 t + 8

x = e - 4 t + 8 t - 1

x = 1 - v 4 - 2 ln ⁡ 2 - v 4

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de