Enunciado

Um cubo maciço de aresta a, equilibrado sobre um cilindro de diâmetro d, está em equilíbrio instável se d ≪ a (Figura 12-64), e está em equilíbrio estável se d ≫ a . O cubo não escorrega sobre o cilindro. Determine o menor valor da razão d a para o qual o cubo está em equilíbrio estável.

Passo 1

Vamos lá ! Esta questão é mais teórica e vai envolver alguns conceitos de rotação de corpos rígidos.

Bom, nós temos o cubo que adicionado sobre um cilindro, vamos considerar que houve um pequeno deslocamento rotacional, δθ do cubo, movendo-se do equilíbrio em que se encontrava para uma nova posição.

Vamos ilustrar isso com uma figura:

Quando isso acontece o ponto de contato entre o cubo e o cilindro vai se deslocar de R para R.δθ (aqui entra nossa compreensão sobre a rotação dos corpos!), onde R   =   d   /   2 . Como resultado desse movimento, o cubo é girado através no mesmo ângulo δθ e, portanto, seu centro (+) é deslocado na mesma direção por um fator de ( a   /   2 )   δ θ .

Se o deslocamento do centro de massa do cubo for menor que o do ponto de contato, o torque sobre o ponto de contato é um torque de restauração e o cubo retornará à sua posição de equilíbrio. Se, por outro lado, ( a   /   2 )   δ θ >   ( d   /   2 )   δ θ , então o torque sobre o ponto de contato devido a m g está na direção de δθ e fará com que o deslocamento do equilíbrio aumente.

Sendo assim:

a / 2 δ θ ≤   ( d   /   2 )   δ θ

a ≤ d

a d ≤ 1

Então o valor mínimo da razão é 1, para que ocorra um equilíbrio estável.

Resposta

a d ≤ 1

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