Enunciado

50. Uma pedra é atirada para cima, a um ângulo de 53° com a horizontal. A altura máxima que ela atinge, acima do ponto de lançamento, é 24   m . Qual a rapidez inicial da pedra? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Bom, esse é um clássico exemplo de lançamento oblíquo, que vai ter a seguinte cara mostrada na imagem abaixo.

Antes de começar a debater sobre o que fazer para resolver essa questão, vamos primeiro definir a origem do nosso referencial gravitacional U = 0 , como sendo o solo.

Agora, que já cumprimos o primeiro mandamento das questões sobre trabalho e energia, vamos dar início ao nosso raciocínio. Bom! O exercício diz que a altura máxima h   atingida é 24,0   m . Lá da cinemática, no lançamento oblíquo de projéteis, vimos que nessa condição de altura máxima apenas a componente horizontal da velocidade de lançamento está presente. O que isso quer dizer?

Isso mesmo, a incógnita velocidade inicial v 0 irá aparecer nas condições iniciais e finais de nosso cálculo. É claro que como a resistência do ar é desprezada, não precisa nem dizer que há conservação de energia.

Passo 2

Uma vez que a energia é conservada a energia mecânica no lançamento da pedra E m , i n i c i a l é igualzinha a energia mecânica na condição em que a pedra atinge sua altura máxima E m , f i n a l .

E m , i n i c i a l = E m , f i n a l

Bom, é meio óbvio que o único tipo de energia presente no começo do lançamento é a cinética. Mas e na altura máxima h , que tipo de energias existem?

Bem, como descrito no P a s s o   1 , na altura máxima a pedra ainda tem uma velocidade v 0 , x , que é dada como a componente horizontal da velocidade de lançamento v 0 e igual a:

v 0 , x = v 0 cos ⁡ θ

Logo, na altura máxima estão presentes energia potencial gravitacional e cinética. Igualamos, então as energias potencial gravitacional e cinética final ( U f e K f ) e cinética inicial ( K i ) :

U f + K f = K i

Passo 3

Obtida, a relação que queremos entre as energias, basta então, desenvolvê-la:

U f + K f = K i

m g h + m v 0 , x 2 2 = m v 0 2 2

m g h + m ( v 0 cos ⁡ θ ) 2 2 = m v 0 2 2

g h + v 0 2 c o s 2 θ 2 = v 0 2 2

2 g h + v 0 2 c o s 2 θ = v 0 2

v 0 2 ( 1 - c o s 2 θ ) = 2 g h

v 0 = 2 g h 1 - c o s 2 θ

Substituem-se os valores numéricos correspondentes, dado que θ = 53 °

v 0 = 2 ( 9,81   m / s ² ) ( 24   m ) 1 - c o s 2 53 °

v 0 ≅ 27,0   m / s

Resposta

A rapidez inicial da bola é igual a v 0 ≅ 27,0   m / s   .

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