Enunciado

Em um dado instante, o centro de massa de um sistema de duas partículas está localizado sobre o eixo O x no ponto x = 2,0   m   e possui velocidade igual a ( 5,0   m / s )   î . Uma das partículas está sobre a origem. A outra partícula possui massa de 0,10   k g e está em repouso sobre o eixo O x no ponto   x = 8,0   m .

a) Qual é a massa da partícula que está sobre a origem?

b) Calcule o momento linear total do sistema.

c) Qual é a velocidade da partícula que está sobre a origem?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) a massa da partícula que está sobre a origem, (b) o momento linear total do sistema e (c) a velocidade da partícula que está sobre a origem.

Assim, dadas as coordenadas x c m ,   y c m = ( 2 ,   0 ) do centro de massa da partícula A e a massa e a distância da partícula B , conseguimos determinar a massa de A através da equação:

x c m = m A . x A + m B . x B m A + m B

Depois, vamos calcular o momento linear do sistema através da equação:

p → = M v →

Onde M é a massa total das duas partículas e v é a velocidade.

Por fim, calculamos a velocidade da partícula A por meio da equação de velocidade do centro de massa de um sistema, que é a seguinte:

v → c m = m A . v → A + m B . v → B m A + m B

Onde v A e m A são as velocidade e a massa da partícula A e v B e m B a velocidade e a massa da partícula B .

Vamos lá!

Passo 2

a) A questão nos fornece dados sobre o centro de massa da partícula A , que tem coordenada x c m = 2 . Assim, utilizando a equação do centro de massa para o eixo x , teremos:

x c m = m A . x A + m B . x B m A + m B

Onde:

m A =   ? = massa da primeira partícula;

m B = 0,10   k g = massa da segunda partícula;

x A = 0   m = posição da primeira partícula no eixo x (origem);

x B = 8,0   m = posição da segunda partícula no eixo x ;

x c m = 2,0   m = centro de massa do sistema.

Agora que interpretamos todos os valores que nos foi dado, basta substituirmos na nossa equação, se liga:

2 = 0 + 0,10 ∙ 8 m A + 0,10

m A + 0,10 = 0,80 2

∴ m A = 0,30   k g

Que é a massa da partícula que se encontra sobre a origem.

Passo 3

b) Para calcularmos o momento linear total do sistema, basta utilizarmos a equação do momento linear, que é a seguinte:

p → = M v →

Substituindo os valores, teremos:

p → = 0,10 + 0,30 ∙ 5,0 î

p → = ( 2,0   k g ∙ m / s ) î

Passo 4

c) Então galera, o que queremos saber aqui é a velocidade da partícula A , ou seja, v A ! A seção 8.5 do Young nos fornece uma equação muito maravilhosa acerca da velocidade do centro de massa de um sistema, que é a seguinte:

v → c m = m A . v → A + m B . v → B m A + m B

Como a segunda partícula se encontra em repouso, então v B = 0 ! Assim, substituindo os valores que a questão nos cede, teremos:

5 î = 0,30 ∙ v → A 0,10 + 0,30

( 5 ∙ 0,40 ) î = 0,30 ∙ v → A

∴ v → A = ( 6,667   m / s ) î

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) m A = 0,30   k g

b) p → = 2,0   k g . m / s î

c) v → A = ( 6,667   m / s ) î

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