Enunciado

Suponha que o trabalhador do Exercício 6.3 empurre o engradado para baixo de um plano inclinado de 30 ° abaixo da horizontal.

a) Qual é o módulo da força aplicada pelo trabalhador para que o engradado se desloque com velocidade constante?

b) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre o engradado quando ele se desloca de 4,5   m ?

c) Qual é o trabalho realizado pelo atrito sobre o engradado durante esse deslocamento?

d) Qual é o trabalho realizado sobre o engradado pela força normal? E pela força da gravidade?

e) Qual é o trabalho total realizado sobre o engradado?

Passo 1

Nesse problema temos uma pessoa empurrando um engradado de 30,0   k g pra baixo por 4,5   m em um plano de 30 ° . Temos que:

μ c = 0,25

Que é o atrito cinético entre o piso e o engradado. A gente deve responder qual é o módulo da força aplicada pelo trabalhador para que a velocidade de deslocamento seja constante!

F ( 30 ° abaixo da horizontal) e a força de atrito (contrária ao movimento – SEMPRE!).

O desenho das forças fica assim:

Já separei as componentes vertical F s e n ( 30 ) e horizontal F c o s ( 30 ) da força F . A caixa se movimenta com velocidade constante, então a soma das forças numa mesma direção é zero. Assim, ficamos com um sistema de equações. Na vertical:

N = F s e n 30 + m g

E na horizontal:

F c o s 30 = f a t

Mas sabemos que a força de atrito depende da normal, então vamos substituir a expressão de N na força de atrito:

F c o s 30 = μ N = μ ( F s e n 30 + m g )

A massa do engradado é 30 k g , o coeficiente de atrito cinético é μ = 0,25 a gravidade já estamos carecas de saber que vale 9,8 m / s 2 , então agora é só substituir os valores e achar o valor de F :

F c o s 30 = μ F s e n 30 + μ m g

F cos ⁡ 30 - μ s e n 30 = μ m g

F = μ m g cos ⁡ 30 - μ s e n 30 = 0,25   .   30   .   9,8 cos ⁡ 30 - 0,25   .     s e n 30 = 99,2 N

Passo 2

O trabalho da força F vai ser:

W = F d c o s 30 = 99,2   . 4,5   . cos ⁡ 30 = 387 J

Passo 3

O trabalho da força de atrito vai ser igual ao trabalho da componente horizontal da F , mas com sinal oposto. Mas não basta dizer, precisamos encontrar esse valor, não é verdade? Então vamos começar calculando a força de atrito. Do passo 1 temos uma expressão pra ela:

f a t = μ ( F s e n 30 + m g )

Como temos todos os valores de massa, força e coeficiente de atrito, é só substituir:

f a t = 0,25   . 99,2   . s e n 30 + 30   .   9.8 = 85,9 N

E agora podemos calcular o trabalho, lembrando que a força de atrito é oposta ao deslocamento, então θ = 180 ° :

W = f a t   d cos ⁡ 180 = 85,9   . 4,5   . cos ⁡ 180 = - 387 J

Passo 4

O deslocamento é na horizontal, e apenas as forças que estejam nessa direção (ou tenha componentes nessa direção) é que vão realizar trabalho. E isso não é o caso nem da força peso nem da força normal. Ambas as forças estão apenas na direção vertical, e não possuem componentes na horizontal, por isso não realizam trabalho.

Outra forma de ver isso é identificando o ângulo entre a força e o deslocamento. Tanto a força normal quanto a força peso fazem um ângulo de 90 ° com o deslocamento, assim o trabalho é zero, pois cos ⁡ 90 = 0 :

W = F . d   . cos ⁡ 90 = 0

Passo 5

O trabalho total é a soma dos trabalhos de cada força:

W = W F + W f a t + W P + W N

Como W P = W N = 0 , e os outros valores calculamos nos itens b e c é só substituir:

W = 387 - 387 + 0 + 0 = 0

Assim o trabalho total é zero!

A força resultante sobre o engradado é zero, logo o trabalho total realizado sobre ele também deve ser zero.

Resposta

a ) 99,2 N

b ) 387 J

c ) - 387 J

d ) 0

e ) 0

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