Enunciado

Demonstre que A e i k x + B e - i k x e C cos ⁡ k x + D sen ⁡ k x são maneiras equivalentes de se escrever a mesma função de x e determine as constantes C e D em termos de A e B , e vice-versa.

Comentários: na mecânica quântica, quando V = 0 , as exponenciais representam ondas móveis e são mais convenientes na discussão sobre partícula livre, considerando que senos e cossenos correspondem a ondas estacionárias, as quais surgem naturalmente no poço quadrado infinito.

Passo 1

Fala aí, tudo bom?? Para resolver essa questão, vamos usar a relação de Euler:

e i θ = cos ⁡ θ + i sen ⁡ ( θ )

Assim, vamos chamar de E a expressão A e i k x + B e - i k x para seguirmos as contas. Assim, vamos ao trabalho:

E = A cos ⁡ k x + i sen ⁡ ( k x ) + B   cos ⁡ - k x + i sen ⁡ ( - k x )

Como a função cosseno é uma função par, enquanto a função seno é uma função ímpar, temos:

E = A cos ⁡ k x + i sen ⁡ ( k x ) + B   cos ⁡ k x - i sen ⁡ ( k x )

Dessa forma, colocando em evidência os senos e cossenos, vem:

E = A + B cos ⁡ ( k x ) + i ( A - B )   s e n ⁡ ( k x )

Ou seja, definindo C = A + B e D = i ( A - B ) , ficamos com:

E = C cos ⁡ ( k x ) + D sen ⁡ ( k x )

E, por fim...

A e i k x + B e - i k x = C cos ⁡ k x + D sen ⁡ k x

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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