Enunciado

Demonstre a validade da forma generalizada da lei de Ampère (Equação 30-4) mostrando que ela fornece o mesmo resultado que a lei de Biot-Savart (Equação 27 -3) em uma situação específica. A figura abaixo mostra duas cargas puntiformes momentaneamente iguais, com sinais opostos (+Q e -Q) no eixo x em x =   - a e x =   + a , respectivamente. No mesmo instante, há uma corrente I no fio que as conecta, como mostrado. O ponto P está no eixo y em y = R . (a) Use a lei de Biot-Savart para mostrar que a magnitude do campo magnético no ponto P é dada por B = μ 0 I a 2 π R 1 R 2 + a 2 . (b) Agora considere uma faixa circular de raio r e largura dr no plano x = 0 cujo centro está na origem. Mostre que o fluxo do campo elétrico através desta faixa é dado por E x d A = Q π r ϵ 0   ( r 2 + a 2 ) 3 / 2   d r . (c) Use o resultado da parte (b) para mostrar que o fluxo elétrico total ∅ e = Q ϵ 0 1 - a a 2 +   R 2 . (d) Encontre a corrente de deslocamento I d através de S, e mostre que I +   I d = I a a 2 +   R 2 . (e) Finalmente, mostre que a forma generalizada da Lei de Ampère (Equação 30-4) fornece o mesmo resultado que a magnitude encontrada na parte (a).

Passo 1

Para responder essa questão seguiremos o passo por passo das instruções dadas no enunciado para mostrar que a Equação 30-4 resulta no mesmo resultado para B que é dado na parte (a).

Passo 2

Primeiramente, expressaremos o a força do campo magnético em P usando a expressão para B devido a um segmento de fio reto:

B = μ 0 I 4 π R s i n θ 1 + s i n θ 2

Onde s i n θ 1 = s i n θ 2 = a R 2 + a 2 :

B = μ 0 I 4 π R 2 a R 2 + a 2 (1)

Agora, expressaremos o fluxo magnético através da faixa circular de raio r e largura dr no plano yz:

d ∅ e =   E x d A =   E x ( 2 π   r   d r )

Devido ao dipolo o campo elétrico possui a seguinte representação:

E x = 2 k Q r 2 +   a 2 cos ⁡ θ 1 = 2 k Q a r 2 + a 2 3 2

Substituindo E x , obtemos:

d ∅ e =   E x d A = 2 k Q a r 2 + a 2 3 2   ( 2 π   r   d r )

d ∅ e = 2 Q a 4 π   ϵ 0 r 2 + a 2 3 2   ( 2 π   r   d r )

d ∅ e = 2 Q a 4 π   ϵ 0 r 2 + a 2 3 2   ( 2 π   r   d r )

d ∅ e = Q a ϵ 0 r 2 + a 2 3 2   r   d r

Multiplicando ambos os lados por ∈ 0 :

ϵ 0 d ∅ e = Q a r 2 + a 2 3 2   r   d r

Agora, integrando de 0 até R, temos:

ϵ 0 d ∅ e = Q a ∫ 0 R r   d r r 2 + a 2 3 2    

ϵ 0 d ∅ e = Q a - 1 R 2 + a 2 + 1 a  

ϵ 0 d ∅ e = Q 1 - a R 2 + a 2  

A corrente de deslocamento é definida por:

I d =   ∈ 0 d ∅ e d t

I d =   d d t   Q 1 - a R 2 + a 2  

I d =   d Q d t   1 - a R 2 + a 2

I d =   - I   1 - a R 2 + a 2

A corrente total é a soma de I e I d :

I + I d =   I - I   1 - a R 2 + a 2

I t =   I a R 2 + a 2

Aplicando a equação 30-4 (a forma generalizada da lei de Ampère), obtemos:

∮ C B ⃑   d l ⃑ = 2 π r B =   μ 0 I + I d

B = μ 0 I + I d 2 π r

Substituindo a corrente total, temos que:

B = μ 0 I a 2 π R   1 R 2 + a 2

AÍ ESTÁ, tudo feito com sucesso! É TUDO POR HOJE, bons estudos ;). Obs: Vai beber água que tá na hora, obrigado, de nada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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