Enunciado

Física - Halliday - Vol 4 - Capítulo 33.Problemas Adicionais - Ex. 108

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desse livro

Mostre, a partir das Eqs. 33-11 e 33-17, que E ( x , t ) e B ( x , t ) , o campo elétrico e o campo magnético associados a uma onda eletromagnética, devem satisfazer as “equações de onda”:

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2     e     ∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

Passo 1

E aí meus caros(as)! Bora pra questão 108! Tá quase acabando o capítulo!

Bem! E o que a gente tem aqui é mostrar que as duas equações aí da nossa bibliografia vão satisfazer as equações de onda abaixo...

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

E o procedimento é bem simples! Basta derivar uma equação em relação a x e outra em relação a t e vice-versa, tentando observar quais relações podemos extrair disso.

Passo 2

Vamos começar pela equação 33-11. A gente sabe que ele é dada por...

∂ E ∂ x = - ∂ B ∂ t

Como a equação de onda depende de x e de t , bora começar derivando a equação 33-11 em relação a x :

∂ ∂ x ∂ E ∂ x = - ∂ ∂ x ∂ B ∂ t

∂ 2 E ∂ x 2 = - ∂ 2 B ∂ x ∂ t

Passo 3

Já a equação 33-17, é dada por...

- ∂ B ∂ x = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t

Como derivamos a 33-11 em relação a x ... Dessa vez, temos que derivar a 33-17 em relação a t :

- ∂ B ∂ x = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t

- ∂ ∂ t ∂ B ∂ x = ∂ ∂ t μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t

- ∂ 2 B ∂ x ∂ t = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2

Passo 4

Percebeu uma coisa diferente aí!? Tanto no P a s s o   2 quanto no P a s s o   3 , obtivemos uma relação para ∂ 2 B / ∂ x ∂ t . Agora, é só igualar elas...

∂ 2 E ∂ x 2 = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2

∂ 2 E ∂ t 2 = 1 μ 0 ε 0 ⋅ ∂ 2 E ∂ x 2

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

Pronto! Obtivemos que pra essa primeira expressão, a equação de onda é satsifeita!

Passo 5

Pra conseguir a outra equação, vamos seguir o caminho inverso ao que tomamos! Primeiro, derivamos a equação 33-11 em relação a t :

∂ ∂ t ∂ E ∂ x = - ∂ ∂ t ∂ B ∂ t

∂ 2 E ∂ t ∂ x = - ∂ 2 B ∂ t 2

E depois, a equação 33-17 em relação a x ...

- ∂ ∂ x ∂ B ∂ x = ∂ ∂ x μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t

- ∂ 2 B ∂ x 2 = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t ∂ x

∂ 2 E ∂ t ∂ x = - 1 μ 0 ε 0 ∂ 2 B ∂ x 2

Como o termo ∂ 2 E / ∂ t ∂ x é comum às duas equações, vamos igualar eles...

- 1 μ 0 ε 0 ∂ 2 B ∂ x 2 = - ∂ 2 B ∂ t 2

∂ 2 B ∂ t 2 = 1 μ 0 ε 0 ∂ 2 B ∂ x 2

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

E aí obtivemos que a segunda equação de onda é satisfeita!

Finalizamos aqui! Até a próxima!

Resposta

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

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