Enunciado

Densidade de corrente de deslocamento não uniforme. A Fig. 32-29 mostra uma região circular de raio R = 3,00   c m na qual existe uma corrente de deslocamento dirigida para fora do papel. O módulo da densidade da corrente de deslocamento é dado por J d = 4,00 A m 2 1 - r R , onde r ≤ R . Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente de deslocamento (a) a 2,00   c m do centro da região; (b) a 5,00   c m do centro da região.

Passo 1

A questão forneceu uma densidade de corrente de deslocamento uniforme J d que atravessa uma região circular de raio R = 3,00   c m . Assim, pela lei de Ampere com correção de Maxwell:

∮ B → ⋅ d s → = μ 0 i + μ 0 ε 0 d Φ E d t = μ 0   ( i + i d )

Note que no fundo a corrente de deslocamento está associada a uma variação do campo elétrico:

i d = ε 0 d Φ E d t

Usando essa interpretação, podemos usar a corrente de deslocamento como se ela fosse uma corrente real na lei de Ampere. Neste caso, a corrente real é nula, de modo que

∮ B → ⋅ d s → = μ 0 i d

Para achar B vamos considerar uma curva amperiana de raio r . Assim,

∮ B → ⋅ d s → = B ⋅ 2 π r

Passo 2

No item (a), temos que r < R . Para achar a corrente, devemos integrar a densidade de corrente na área:

i d = ∫ J d   d A

Para essa integral, considere um anel fininho de raio r e espessura d r , cuja área será d A = 2 π r ⋅ d r :

i d = ∫ 0 r J d   2 π r   d r = 2 π ⋅ 4,00 A m 2   ∫ 0 r r   1 - r R   d r = 2 π 4,00 A m 2 ∫ 0 r r - r 2 R   d r

Portanto,

i d = 2 π 4,00 A m 2   r 2 2 - r 3 3 R

Assim,

B ⋅ 2 π r = μ 0 ⋅ 2 π 4,00 A m 2   r 2 2 - r 3 3 R ⇒ B = μ 0 4,00 A m 2   r 2 - r 2 3 R

Usando r = 2,00 ⋅ 10 - 2   m :

B = 27,9 ⋅ 10 - 9   T

Passo 3

No item (b), r > R , então, para achar i d , devemos integrar até r = R (fronteira até onde vai a corrente):

i d = 2 π 4,00 A m 2 ∫ 0 R r - r 2 R   d r = 2 π 4,00 A m 2   R 2 2 - R 3 3 R

Assim,

B ⋅ 2 π r = μ 0 ⋅ 2 π 4,00 A m 2 R 2 6 ⇒ B = μ 0 4,00 A m 2 R 2 r

Substituindo r = 5,00 ⋅ 10 - 2   m , temos

B = 15,1 ⋅ 10 - 9   T

Resposta

B = 27,9 ⋅ 10 - 9   T

B = 15,1 ⋅ 10 - 9   T

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