Lista de Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

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É conhecido que um campo elétrico de uma onda plana eletromagnética propagando-se num meio dielétrico (onde μ = μ c = 4 π × 10 - 7   T . m / A ) é dado por

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

onde E 0 = 2 × 10 - 6   V / m , ω = 6 × 10 5   r a d / s e k → = 3 × 10 - 3   m - 1 .

Obs: As relações e as equações para uma onda eletromagnética num meio dielétrico são as mesmas que para uma onda eletromagnética no vácuo, substituindo apenas nas relações a velocidade c da onda eletromagnética no vácuo pela velocidade v da onda eletromagnética no meio dielétrico.

  1. Qual é o vetor unitário k ^ da direção propagação da onda?
  2. Calcule o vetor campo magnético B → da onda.

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Uma onda eletromagnética possui módulo do campo magnético B = 4 × 10 - 7 T e frequência 10 6 H z , sabendo que o vetor de propagação da onda está no mesmo sentido e é proporcional a x ^ - 2 y ^ , escreva uma expressão para o vetor campo magnético e determine o comprimento de onda.

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Usando a notação complexa, some os campos elétricos abaixo:

E 1 → = E 1 cos ⁡ k x - ω t y ^

E 2 → = E 2 sen ⁡ k x - ω t y ^

E 3 → = E 3 cos ⁡ k x - ω t + π y ^

Sendo E 1 = 2 E 2   e E 2 = 2 E 3

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Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda igual a 3,00   cm e a amplitude do campo elétrico é igual a 9,00   V / m .

Dê as suas respostas em valores numéricos.

  1. Qual é a frequência desta onda?
  2. Sabendo que o vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ , escreva uma possível expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço.
  3. A partir da sua resposta do item b), escreva uma possível expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço.

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A figura abaixo representa os campos elétrico E → e magnético B → de uma onda eletromagnética plana monocromática, no vácuo, na origem do sistema de coordenadas em dois instantes diferentes. Nestes dois momentos E → = 1 / 2   V / m . A frequência da onda é f = 0,25 × 1 0 9 H z e sua velocidade de propagação c = 3 × 10 8   m / s .

a Determine o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda λ , a frequência angular ω e o número de onda k .

b Escreva a expressão completa do vetor campo elétrico indicando a dependência nas coordenadas e no tempo.

c Escreva a expressão do campo magnético B → associado ao campo elétrico dado.

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Qual das expressões abaixo pode corresponder ao campo magnético de uma onda eletromagnética polarizada na direção x ^   e que se propaga na direção e sentido de - y ^ ?

(a) B 0   z ^ c o s ( k y   +   ω t )

(b) B 0 x ^ c o s ( k y   +   ω t )  

(c) B 0 x ^ c o s ( k y -   ω t )

(d) - B 0   z ^ c o s ( k y -   ω t )

(e) - B 0   y ^ c o s ( k y -   ω t )

(f) - B 0   y ^ c o s ( k y   +   ω t )

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Películas de Fluoreto de Magnésio ( M g F 2 ) são empregadas para diminuir a quantidade de luz refletida em lentes e materiais, no espectro visível. O índice de refração desse material vale, aproximadamente, n = 7 / 5 . Se a amplitude do campo elétrico de uma onda eletromagnética que está no interior de M g F 2 vale 3   V / m , estime a amplitude do campo magnético dessa onda.

a) B = 1,4 ⋅ 10 - 8   T .

b) B = 1 , 0 ⋅ 10 - 8   T .

c) B = 0 , 7 ⋅ 10 - 8   T .

d) B = 3 , 5 ⋅ 10 - 8   T .

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Uma “cavidade linear” no vácuo é definida por duas paredes planas, paralelas e de material condutor ideal situadas em planos paralelos a y z e posicionados em x = 0   c m e x = 10   c m , respectivamente. Sabendo que uma onda eletromagnética é excitada dentro da cavidade no primeiro modo normal de oscilação, o campo elétrico dessa onda pode ser dado por:

a) E → r → ,   t = - 1 V m y ^   s e n   π x 10 r a d c m cos ⁡ π c t 10 r a d c m .

b) E → r → ,   t = 2 V m z ^   s e n   2 π x 10 r a d c m cos ⁡ 2 π c t 10 r a d c m .

c) E → r → ,   t = 1 V m x ^   s e n   π x 10 r a d c m cos ⁡ π c t 10 r a d c m .

d) E → r → ,   t = - 2 V m y ^   c o s   2 π x 10 r a d c m sen ⁡ 2 π c t 10 r a d c m .

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Um material não magnético possui a permeabilidade magnética igual à do vácuo μ = μ 0 . Um feixe de luz se propaga nesse material com velocidade v = 1,5 ⋅ 10 8   m / s . Determine o valor da permissividade elétrica ϵ desse material.

a) 4 ϵ 0 .

b) 2 ϵ 0 .

c) ϵ 0 .

d) ϵ 0 / 4 .

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3. Ondas eletromagnéticas podem ser classificadas como ondas longitudinais.

Escolha uma opção:

( ) Verdadeiro

( ) Falso

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Dentre os pares de campos elétrico e magnético abaixo, descritos em notação complexa (ou fasorial), qual alternativa pode representar uma onda plana eletromagnética propagando-se no vácuo?

Considere E 0 , ω e k constantes e ω = k c .

  1. E → = E 0 e i k y - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k y + ω t x ^
  2. E → = E 0 e i 4 k x - ω t z ^ , B → = E 0 4 c e i 4 k x - ω t y ^
  3. E → = E 0 e i k x - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k x - ω t y ^
  4. E → = E 0 e i k r - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k r - ω t y ^
  5. E → = E 0 e i k 3 x - y 2 - ω t z ^ , B → = E 0 2 c e i k 3 x - y 2 - ω t x ^ + y ^
  6. E → = E 0 e i k x - y 2 - ω t z ^ , B → = - E 0 2 c e i k x - y 2 - ω t x ^ + y ^

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O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana monocromática que se propaga no vácuo é dado por E → z , t = E 0 sin ⁡ 2 π β z + γ t i ^ , onde β > 0 e γ > 0 são constantes.

(a) (0,5 ponto) Determine a direção e o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda e a frequência desta onda em função das constantes β e γ .

(b) (0,5 ponto) Que relação deve haver entre β e γ para que o campo E → ( z , t ) satisfaça a equação de ondas eletromagnéticas no vácuo?

(c) (0,5 ponto) Expresse o campo magnético B → em função de E 0 , β , γ e da velocidade da luz no vácuo c .

(d) (1,0 ponto) Calcule o vetor de Poynting instantâneo e a densidade de energia média desta onda.

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Considere uma onda eletromagnética plana e monocromática polarizada linearmente na direção y ^ que se propaga ao longo do eixo z positivo de um sistema de coordenadas. O campo elétrico dessa onda pode ser escrito como:

  1. E → r → , t = 25 V m x ^ sen ⁡ π t - z c   r a d s   .  
  2. E → r → , t = - 25 V m y ^ cos ⁡ π t - z c   r a d s   .  
  3. E → r → , t = 25 V m y ^ sen  ⁡ π t + z c   r a d s   .  
  4. E → r → , t = - 25 V m z ^ cos ⁡ π t - y c   r a d s   .  
  5. E → r → , t = 25 V m z ^ sen ⁡ π t + y c   r a d s   .  

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As micro-ondas são exemplos de ondas eletromagnéticas com frequência na faixa de 10 8 a 10 12   H z . Suponha que um tipo de micro-onda tenha frequência f igual a 10 10   H z . Determine o seu comprimento de onda em centímetros. Considere a velocidade de propagação das ondas igual a 3 ⋅ 10 8   m / s .

Dado: v = λ ⋅ f

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Sabendo que em uma onda eletromagnética a sua componente magnética é descrita pela equação abaixo:

B = 400 n T ⋅ sin ⁡ 1,05   r a d m ⋅ x - 3,14 ⋅ 10 8 r a d s ⋅ t ⋅ k

Qual é o valor da amplitude da componente elétrica desta onda eletromagnética? Adote c = 3 ⋅ 10 8   m / s

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Considere uma onda eletromagnética plana, monocromática e linearmente polarizada cujo campo magnético é dado pela expressão:

B → r → , t = 5 T x ^ sen ⁡ 2 π r a d y 5 × 10 - 7 m - t 5 × 10 - 15 s .

Em função dos dados do enunciado, calcule o que se pede. Substitua os valores de todas as constantes fundamentais na resposta final de cada item.

(a) Determine o comprimento de onda, o período de oscilação, a direção e o sentido de propagação da onda eletromagnética.

(b) Determine o módulo da velocidade de propagação da onda.

(c) Determine o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) dessa onda eletromagnética.

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A figura abaixo representa os campos elétrico E → e magnético B → de uma onda eletromagnética plana monocromática, no vácuo, na origem do sistema de coordenadas em dois instantes diferentes. Nestes dois momentos E → = 1 / 2   V / m . A frequência da onda é f = 0,25 × 10 9 H z e sua velocidade de propagação c = 3 × 10 8   m / s .

  1. Determine o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda λ , a frequência angular ω e o número de onda k .
  2. Escreva a expressão completa do vetor campo elétrico indicando a dependência nas coordenadas e no tempo.
  3. Escreva a expressão do vetor campo magnético B → associado ao campo elétrico dado.

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O campo magnético de uma onda propagante é dado por B → = B 0 2 j ^ + i ^ / 5 cos ⁡ k z + ω t . A direção de polarização dessa onda é:

  1. 2 i ^ - j ^ / 5
  2. - 2 i ^ + j ^ / 5
  3. - 2 i ^ - j ^ / 5
  4. i ^ + 2 j ^ / 5
  5. - i ^ + 2 j ^ / 5

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Uma onda eletromagnética plana e monocromática possui campo magnético B → r → , t , vetor número de onda k → e frequência angular ω . O campo elétrico dessa onda vale?

  1. - c 2 ω k → × B → r → , t
  2. + c 2 ω k → × B → r → , t
  3. - c ω k → × B → r → , t
  4. + c ω k → × B → r → , t
  5. - c k → × B → r → , t
  6. + c k → × B → r → , t

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