Enunciado

A densidade de propabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é máxima para r = a , onde a é o raio de Bohr. Mostre qye o valor médio de r , definido como

r m é d = ∫ P r   r   d r

é igual a 1,5 a . Nessa expressão para r m é d , cada volor de P ( r ) recebe um peso igual ao valor correspondente de r . Observe que o valor médio de r é maior que o valor de r para o qual P ( r ) é máxima.

Passo 1

Temos que a densidade de probabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por:

P r = 4 r 2 a 3 e - 2 r / a

onde a é o raio de Bohr.

Passo 2

O raio médio é dado por:

r m é d = ∫ P r   r   d r

Substituindo os valores e integrando de 0 a , obtemos:

∫ 0 ∞ 4 r 2 a 3 e - 2 r / a   r   d r = ∫ 0 ∞ 4 r 3 a 3 e - 2 r / a d r

4 a 3 ∫ 0 ∞ r 3 e - 2 r / a d r

Podemos encontrar o resultado dessa integral a partir de uma tabela de integrais. De maneira geral temos:

∫ 0 ∞ r n e - a x d x = n ! a n + 1

No nosso caso n = 3 , a = 2 / a e x = r . Então a integral fica:

4 a 3 ∫ 0 ∞ r 3 e - 2 r / a d r = 4 a 3 6 2 a 4   = 24 a 16 = 1,5 a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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